部分代数系

部分代数の概念

普遍代数学における"部分代数"とは、ある代数構造Aの部分集合Sが、Aの持つ演算を制約したとき、S自身もAと同様の代数的性質を持つことを指します。この場合、部分代数の性質を確認するためには、Sの各演算がどのように閉じているか、つまりS内の要素が演算の結果として常にS内に留まるかを検証することが欠かせません。

文献によっては、各演算が部分写像として定義される代数も考慮されていますが、この考え方には様々な解釈があります。さらに、演算だけでなく関係も含むように代数の概念を広げた場合、通常は「構造」という言葉が使われ、部分代数よりも緩やかな「部分構造」の考え方が導入されます。この点は、モデル理論や計算機科学の分野で特に重要な役割を果たします。

部分代数の確認方法

部分代数Sが真の部分代数であることを確認するには、以下の条件を満たす必要があります：

1. 単位元の存在: Sにおいて、Aの単位元eが存在し、Sの中でもこの要素が持たれること。
2. 逆元の存在: S内の任意の要素xに対し、その逆元x^(-1)もS内に存在すること。
3. 演算の閉包性: Sの任意の2つの要素x, yに対し、xとyを用いた演算結果もSに含まれること。

これらの条件はいずれも、Sが代数的な操作に対して閉じていることを表しています。具体例として、群の部分群を考えてみましょう。

群の部分群の例

普遍代数学における群の演算の型は、通常、(×, −1, 1)とされます。ここで、−1は逆元を示し、1は単位元を示します。ある群Gにおいて、部分群Sが以下の条件を満たすとき、SはGの部分群となります。

• - Gの単位元eがSに含まれている。
• - S内の任意の要素xに対し、逆元x^(-1)もSに含まれる。
• - S内の任意の2つの要素xとyに対し、x * yもSに含まれる。

このように、部分代数の定義は代数の基本的な性質を反映しており、さらなる深化としては他の代数的構造や関係を考慮した場合にも適用されます。このように、部分代数の概念は代数の多くの領域において非常に重要であり、研究の基盤となっています。

参考文献

• - Bourbaki, Nicolas (1989) "Elements of mathematics, Algebra I", Berlin, New York: Springer-Verlag.
• - Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981) "A Course in Universal Algebra", Berlin, New York: Springer-Verlag.

もう一度検索