配置集合
数学の集合論における配置集合（はいちしゅうごう）または冪（べき）集合とは、二つの集合EとFが与えられたとき、EからFへのすべての写像（関数）を要素とする集合のことです。この集合は、通常、ℱ(E, F) や FEと表記されます。
具体的には、FEは、Eの各要素をFの要素に対応付ける全ての可能な写像の集まりであり、以下のように定義できます。
math
F^{E} = \prod_{e \in E} F = \{ (x_e)_{e \in E} \mid x_e \in F \}
ここで、\(x_e\) は、Eの要素eに対応するFの要素を表します。つまり、配置集合FEは、Eの各要素に対してFの要素を一つずつ選んで並べた「組」全体の集合と考えることもできます。
例えば、
\( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) は、自然数\( \mathbb{N} \) を添え字とする実数\( \mathbb{R} \) の列全体の集合、すなわち実数列全体の集合を表します。
任意の空でない集合Eに対して、Eから空集合\( \emptyset \) への写像は存在しません。したがって、\( \emptyset^E = \emptyset \) （\( E
eq \emptyset \)）が成り立ちます。
任意の集合Fに対して、空集合\( \emptyset \) からFへの写像はただ一つ存在します（空写像）。したがって、配置集合\( F^{\emptyset} = \{ \emptyset \} \) は一元集合となります。
集合EとFが有限集合であるとき、それぞれの濃度を|E|、|F|と表すと、配置集合FEの濃度は以下のように計算できます。
math
}
これは、重複順列の考え方に対応します。つまり、Eの各要素に対してFの要素を一つずつ選ぶ方法は、|F|の|E|乗通りあるということです。
EまたはFが無限集合の場合、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられます。このとき、FEの濃度は、EとFの濃度のみによって定まり、具体的な集合の選び方には依存しません。
配置集合の概念を最初に導入したのは、ゲオルク・カントールです。彼は、Nの各元にMの元を対応付ける規則（今日で言う写像）を「配置」と呼びました。そして、そのような配置全体の集合を「NのMによる配置集合」と定義し、\( (N|M) \) と表しました。これは、現代の記法における\( M^N \) に相当します。
カントールの時代には、関数の概念がまだ十分に整備されていなかったため、彼は「配置」という言葉を使って、今日の写像の概念を表現しました。
配置集合は、集合論の基礎となる概念であり、数学の様々な分野で応用されています。
配置集合の濃度を考えることで、無限集合の濃度を比較したり、集合の大きさを議論したりすることができます。
ブルバキ, ニコラ 著、前原昭二 訳『集合論 要約』東京書籍〈ブルバキ数学原論 4〉、1968年。ISBN 978-4-489-00104-8。
Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”. Mathematische Annalen (Teubner) (XLVI): 481-496.
Cantor, Georg (2012), Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis, traduit et commenté par J.-P. Belna, sur Bibnum.
Cantor, Georg (1955), “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover Books on Mathematic, Dover Publications, pp. 85–136, ISBN 978-0-486-60045-1.
Cantor, Georg (2007) [1915], “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Cosimo, Inc., pp. 85–136, ISBN 978-1-60206-442-3.
Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
集合論
写像
冪集合
濃度
『配置集合』 - コトバンク
function set in nLab
* Weisstein, Eric W. "Mapping Space". mathworld.wolfram.com (英語).
具体的には、FEは、Eの各要素をFの要素に対応付ける全ての可能な写像の集まりであり、以下のように定義できます。
math
F^{E} = \prod_{e \in E} F = \{ (x_e)_{e \in E} \mid x_e \in F \}
ここで、\(x_e\) は、Eの要素eに対応するFの要素を表します。つまり、配置集合FEは、Eの各要素に対してFの要素を一つずつ選んで並べた「組」全体の集合と考えることもできます。
例えば、
\( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) は、自然数\( \mathbb{N} \) を添え字とする実数\( \mathbb{R} \) の列全体の集合、すなわち実数列全体の集合を表します。
任意の空でない集合Eに対して、Eから空集合\( \emptyset \) への写像は存在しません。したがって、\( \emptyset^E = \emptyset \) （\( E
eq \emptyset \)）が成り立ちます。
任意の集合Fに対して、空集合\( \emptyset \) からFへの写像はただ一つ存在します（空写像）。したがって、配置集合\( F^{\emptyset} = \{ \emptyset \} \) は一元集合となります。
配置集合の濃度
集合EとFが有限集合であるとき、それぞれの濃度を|E|、|F|と表すと、配置集合FEの濃度は以下のように計算できます。
math
| F^E | = | F | ^{ | E |
|---|
これは、重複順列の考え方に対応します。つまり、Eの各要素に対してFの要素を一つずつ選ぶ方法は、|F|の|E|乗通りあるということです。
EまたはFが無限集合の場合、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられます。このとき、FEの濃度は、EとFの濃度のみによって定まり、具体的な集合の選び方には依存しません。
歴史
配置集合の概念を最初に導入したのは、ゲオルク・カントールです。彼は、Nの各元にMの元を対応付ける規則（今日で言う写像）を「配置」と呼びました。そして、そのような配置全体の集合を「NのMによる配置集合」と定義し、\( (N|M) \) と表しました。これは、現代の記法における\( M^N \) に相当します。
カントールの時代には、関数の概念がまだ十分に整備されていなかったため、彼は「配置」という言葉を使って、今日の写像の概念を表現しました。
注釈
配置集合は、集合論の基礎となる概念であり、数学の様々な分野で応用されています。
配置集合の濃度を考えることで、無限集合の濃度を比較したり、集合の大きさを議論したりすることができます。
参考文献
ブルバキ, ニコラ 著、前原昭二 訳『集合論 要約』東京書籍〈ブルバキ数学原論 4〉、1968年。ISBN 978-4-489-00104-8。
Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”. Mathematische Annalen (Teubner) (XLVI): 481-496.
Cantor, Georg (2012), Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis, traduit et commenté par J.-P. Belna, sur Bibnum.
Cantor, Georg (1955), “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover Books on Mathematic, Dover Publications, pp. 85–136, ISBN 978-0-486-60045-1.
Cantor, Georg (2007) [1915], “Article I. (1895)”, in Philip E. B. Jourdain trans., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Cosimo, Inc., pp. 85–136, ISBN 978-1-60206-442-3.
Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
関連項目
集合論
写像
冪集合
濃度
外部リンク
『配置集合』 - コトバンク
function set in nLab
* Weisstein, Eric W. "Mapping Space". mathworld.wolfram.com (英語).
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