錐 (位相幾何学)

錐とは何か

位相幾何学、特に代数的位相幾何学において、錐（cone）は重要な構造です。錐は、位相空間を円柱の形状で考え、一方の端を一点に押し縮めることで定義されます。具体的には、位相空間 X に対して、単位区間 I = [0, 1] と積を取り、そこから特定の点を結ぶことで生成される商空間 CX が錐として知られています。この操作によって、X の各点が、X の他の点へと向かう線分の集まりとして表現されます。

錐の数学的定義

錐は、次のように数学的に表現されます：

$$
CX = (X imes I) / (X imes \\{0\})
$$

この表現から、X の各点が I の各点と組み合わさり、I の値が0になるとき、すべてが同一の点に縮約されることがわかります。直感的に、これを円柱とイメージし、その一端を押しつぶすことで形成される新しい空間を想像できます。

錐の具体例

錐の扱いがより具体的に理解できるよう、いくつかの例を挙げます。

• - 実数直線の点 p の錐は、区間 {p} × [0, 1] で表されます。
• - 二点 {0, 1} 上の錐は、両端ポイントを持つ「V」字型の構造になります。
• - 実数直線の区間 I の錐は、内側が埋まった三角形として表わされ、しばしば「2-単体」と呼ばれます。
• - 多角形 P に対する錐は、P を底面とするピラミッドの形を取ります。
• - 円板の錐 は古典的幾何学における円錐体として捉えられ、円上の錐は円錐体の側面として表現されます。

このように、異なる位相空間に対して錐を形成することができ、 geometricalな直観にも合致します。

錐の性質

すべての錐は弧状連結であり、これは任意の点を頂点に結ぶことで容易に確認できます。また、錐はホモトピーの観点からも頂点に可縮である特性を持ち、代数的位相幾何学において空間の一部を埋め込むための重要な役割を担っています。この特性により、磨耕された空間であることが保証されています。

錐 CX を視覚化する場合、X がコンパクトかつハウスドルフであれば、すべてのポイントが1つの点へとつながる線分として捉えられます。しかし、X がその条件を満たさない場合、描像は異なる場合があるため注意が必要です。

約錐とは？

基点付き空間 (X, x0) を考慮すると、関連する構成として約錐（reduced cone）が存在します。この約錐は、基点 x0 を持ちながら構成される錐であり、その定義は次のように表されます：

$$
X imes [0, 1] / (X imes \\{0\}  \\cup \\{x_0\} imes [0, 1])
$$

この構成により、基点付き空間の射が自然に形成され、これによりトポロジカルな特性がさらなる深みを持つことになります。

錐関手

写像 X ↦ CX は、位相空間の圏における関手として機能します。これにより、位相空間の性質やその変換について考察するための道筋を提供します。

結論

錐は、代数的位相幾何学における重要な構成要素であり、さまざまな用途が存在します。錐の性質やその具体的な表現を理解することで、今後の研究や応用の土台となるでしょう。この概念は、トポロジーの他の領域とも密接に関わっており、さらなる探求が期待されます。

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