隆起函数

隆起函数 (Bump Function)

隆起函数とは、全ての階数の連続な導函数を持ち、ユークリッド空間
Rⁿ で定義された滑らかな関数で、かつコンパクトな支えを持つ関数です。ここでの「コンパクトな台」というのは、その関数が外側でゼロになるような有限な領域を指します。数学的には、隆起函数の集合は通常、
C₀ⁿ(Rⁿ) あるいは Cₓⁿ(Rⁿ) と表記されます。この空間には特定の位相が定められ、その双対空間はシュワルツ超函数の空間に適合します。

隆起函数の例

一次元の隆起函数の明示的な例を挙げると、次のような関数
Ψ: R → R があります：

$$
Ψ(x) = egin{cases}
ext{exp}igg(-rac{1}{1-x²}igg) & ext{for } |x| < 1 \ 0 & ext{otherwise.} \
ext{end{cases}}
$$

この関数は |x|<1 の範囲では非ゼロですが、それ以外ではゼロになります。このような構造から、この関数はコンパクトな台を持つことが明らかです。実際、この関数がコンパクトな台を保持するための条件とは、有界な台を持つことです。関数の滑らかさについては、他の滑らかな関数と同様に議論されます。また、この関数は単位円にスケーリングされたガウス関数として考えることもでき、ほかの変数への拡張も可能です。

多変数の隆起函数

n 変数の隆起函数は、上記の一変数の隆起函数を n 個掛け合わせることで得られます。すなわち、次のように定義されます：

$$
Φ(x₁, x₂, \, ext{. . .}, x_n) = Ψ(x₁)Ψ(x₂) \. . . Ψ(x_n).
$$

このように、多変数の隆起函数は単純な構造を持ちつつ、さまざまな空間での利用に適しています。

隆起函数の構成

隆起函数は特定の条件に応じて「特殊化」することも可能です。具体的には、K を n 次元の任意のコンパクト集合、U を K を含む開集合とすると、K 上で 1 値を持ち、U の外側で 0 となるような隆起函数 φ を構成できます。これを実現する手法として、まず K の近傍 V を考え、特性関数
χ₍ₗ₁₎ を用いて滑らかな関数を生成します。こうすることで、近傍内では 1 であり外でゼロとなるような、滑らかな隆起函数が得られます。

性質および応用

隆起函数は滑らかではありますが、恒等的に零でない限り解析的ではありません。この事実は、一致の定理によるもので、さまざまな応用が考えられます。特に、隆起函数は軟化子やカットオフ関数として、また滑らかな分割を構成する際に頻繁に利用されます。さらに、隆起函数の空間は多くの演算に対して閉じており、例えば二つの隆起函数の和や積、さらには畳み込みも再び隆起函数になります。滑らかな係数を持つ任意の微分作用素が隆起函数に適用されても、別の隆起函数が得られます。

フーリエ変換

隆起函数のフーリエ変換は解析的であり、複素平面全体に拡張可能です。したがって、ゼロでない限りコンパクトな台は持ちません。整函数である隆起函数は、実証される通りゼロ関数だけが対応します。また、無限回微分可能であるため、十分に大きな角周波数においてフーリエ変換 F(k) は 1/k の任意の有限ベキよりも急速に減衰します。たとえば、先に挙げた隆起函数
Ψ のフーリエ変換も、特定の方法を利用して解析することが可能であり、高い周波数において急速な減衰が確認されます。

まとめ

隆起函数に関するこのような性質は、解析学やその他の数学的な枠組みで非常に重要な役割を果たしています。これらの関数は、さまざまな応用と解析の基盤を提供し、就業している理由の一部となっています。

もう一度検索