集合の分割

集合の分割についての概念

集合 X の分割とは、X の全体を構成する部分集合の集まりであり、これらは互いに重ならず、一部は空でなく、全体を覆うものです。この項目では集合の分割の定義、特徴、具体例、および関連する概念について詳しく述べます。

分割の定義

分割 P は、集合 X の空でない部分集合で構成されており、X の要素 x に対し、x が P のいずれかの部分集合 A に含まれる場合、その A は一意に定まります。分割が成立するためには、以下の条件を満たす必要があります。

1. 空集合を含んではいけない：P に空集合は含まれない。
2. 和集合が X に等しい：P のすべての元を集めてできる集合が X と一致する。
3. 互いに素である：P の異なる元 A と B の交わりは空である。

これにより、分割の元は「ブロック」または「部分」と呼ばれます。

具体例

• - 単一の要素 {x} の場合、分割は { {x} } のみです。
• - 任意の集合 X に対し、P = {X} も分割です。
• - 集合 U の任意の非空の部分集合 A に対し、A とその補集合で構成される集まりも分割として成り立ちます。

例えば、集合 {1, 2, 3} に対する分割は5通り存在します。これには、

• - { {1}, {2}, {3} }
• - { {1, 2}, {3} }
• - { {1, 3}, {2} }
• - { {1}, {2, 3} }
• - { {1, 2, 3} }

が含まれます。しかし、空集合を持つ { {}, {1, 3}, {2} } や、要素が共通する { {1, 2}, {2, 3} } の場合は分割とは認められません。

同値関係との関連

任意の同値関係 R に基づき、X 上の同値類の集合は X の分割になります。この過程を「類別」または「分類」と呼びます。そして、分割 P から同値関係 RP が構築でき、これは分割に付随する同値関係といいます。したがって、集合の分割と同値関係を設定することは同等の意味を持つといえるでしょう。

分割の細分

分割 π が分割 ρ の細分であるとは、π の各元が ρ の元の部分集合であることを指します。これは、π の分割がより詳細であることを意味し、表記としては π ≤ ρ とされます。この関係は半順序と見なされ、実際には完備束という構造を持ちます。

非交差な分割

数の集合 N の同値関係に基づく分割が非交差である条件は、特定の数の大小関係において、互いの関係が成立しないことです。例えば、{1, 2, 3, 4} という集合の中で 13/24 のみが非交差です。非交差な分割の束は、自由確率論で重要視されています。

分割の数え上げ

n 個の要素から成る集合の分割数はベル数 Bn で表され、次の漸化式に従います。

$$ B_{n+1} = \u2211_{k=0}^{n} {n race k} B_k $$

また、n 個の要素を k 個のブロックに分ける分割数は第2種スターリング数 S(n, k) で表現されます。天然数 N に対する非交差な分割の総数は、カタラン数 Cn で記述され、次のような式が成り立ちます。

$$ C_n = rac{1}{n + 1} {2n race n} $$

このように、集合の分割は数学において重要な役割を果たし、多くの応用や理論の基盤となっています。

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