離散数学

離散数学とは

離散数学は、連続的でない、とびとびの対象を扱う数学の分野です。これは、有限数学や離散数理とも呼ばれることがあります。グラフ理論、組合せ理論、最適化問題、計算幾何学、プログラミング、アルゴリズム論など、多くの応用分野で包括的かつ抽象的な表現を用いる際に活用されます。整数論も離散数学に含まれますが、初等整数論を超えると解析学と関連し、離散数学の範囲を超えることがあります。

離散数学の内容

離散数学の中核をなす分野は、主に以下の2つです。

組合せ論: これは「ひたすら数える」数学であり、有限の要素の集まりを扱います。解決策の存在、その数、最適解を見つけることが主な目的です。
グラフ理論: 点と線の数学として知られ、頂点とそれらを結ぶ辺の関係を研究します。グラフ理論は、組合せ論と密接に関連しており、経路の存在、数、最適経路を見つける問題などを扱います。グラフの彩色問題も組合せ論と関連が深い分野です。


学校教育では、行列、集合、順列・組合せ、論理と証明、帰納法と漸化式、数列などが教えられます。さらに、金融経済や産業経済の分野では、ゲーム理論、マルコフ連鎖、社会選択理論、投票理論、ビンパッキング問題、記号論などが科学技術として利用されています。

離散数学における問題解決

離散数学では、問題をアルゴリズムに置き換えて分析することで解決を目指すアプローチが一般的です。アルゴリズムの理論は帰納的な考え方を含み、それ自体が離散数学の一分野を形成しています。アルゴリズムの理論と対照的なのが実証論で、これは整数論やトポロジーなどの伝統的な数学に見られる特徴です。数学的には、実証論的な証明の方が美しいとされることもあります。

参考文献

根上生也『情報数学講座3　離散構造』共立出版、1993年
秋山仁、R.L.Graham『入門有限・離散の数学；1　離散数学入門』朝倉書店、1993年
惠羅博、小川健次郎、土屋守正、松井泰子『離散数学』横浜図書、2004年
落合秀也 離散数学

入門用教科書

小倉久和：「離散数学への入門」，近代科学社 (2005年)．
守屋悦朗：「離散数学入門」，サイエンス社 (2006年)．
石村園子:「やさしく学べる離散数学」，共立出版 (2007年)．
松原良太（他）：「離散数学」，オーム社 (2010年)．
守屋悦朗：「例解と演習 離散数学」，サイエンス社 (2011年).
横森貴，小林聡：「応用　情報数学」，サイエンス社 (2011年)．
小倉久和：「はじめての離散数学」，近代科学社（2011年).
宮崎佳典，新谷誠，中谷広正：「理工学系のための離散数学」，東京図書 (2013年)．
西野哲朗，若月光夫：「情報工学のための離散数学入門」，数理工学社(2015年).
陳慰，和田幸一：「離散数学（第2版）」，森北出版（2017年）．
木本一史：「レクチャー離散数学―グラフの世界への招待」, サイエンス社(2019年）．
伊藤大雄：「イラストで学ぶ 離散数学」，講談社（2019年）．
牧野和久：「基礎系 数学 離散数学」（東京大学工学教程），丸善出版（2019年）．
猪股俊光，南野謙一：「情報系のための離散数学」，共立出版（2020年）．
幸谷智紀，國持良行：「情報数学の基礎(第2版)」，森北出版（2020年）．
Seymour Lipschutz，Marc Lipson，渡邉均(訳)：「離散数学（改訂2版）」，オーム社 (2022年）．
徳山豪：「工学基礎　離散数学とその応用 [第2版] 」，数理工学社 (2022年)．
黒澤馨：「工学のための離散数学［第2版］」、数理工学社、ISBN 978-4-86481-109-5 (2024年5月25日).

関連項目

* デジタル

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