電子ガス

電子ガス模型：プラズマ振動と電子のふるまいを解き明かすモデル

電子ガス模型は、物質中の電子の挙動を理解するための重要な理論モデルです。このモデルでは、正電荷が一様に分布した背景（ジェリウムモデル）の中に、電子が自由に動き回っている状態を仮定します。この単純化されたモデルを用いることで、複雑な多体問題を解析的に扱うことが可能となり、プラズマ振動や電子の遮蔽効果といった重要な現象を説明することができます。

ハミルトニアン：電子のエネルギーと相互作用

電子ガス模型における電子のエネルギーと相互作用を表すハミルトニアンは、以下の式で表されます。

\(H = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{N} p_i^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j
eq i}^{N} \frac{e^2}{|r_i - r_j|} - U_0\)

ここで、mは電子の質量、Nは電子の数、\(p_i\)はi番目の電子の運動量、\(r_i\)はi番目の電子の位置ベクトル、eは電子の電荷です。右辺第一項は電子の運動エネルギーを表し、第二項は電子間のクーロン相互作用を表します。第三項\(U_0\)は、一様な正電荷によるポテンシャルエネルギーです。第二項は発散項を含みますが、第三項と打ち消し合うため、全体としては有限の値になります。

クーロン相互作用項を無視したモデルを自由電子ガス模型と呼びます。この場合、系の全電荷が中性である必要があります。

フーリエ変換を用いて、ハミルトニアンを逆空間表示すると、以下のようになります。

\(H = -\frac{\hbar^2}{2m} \sum_{i=1}^{N} \Delta_i + \frac{1}{2} \sum_{k
eq 0} \frac{4\pi e^2}{\Omega k^2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j
eq i}^{N} e^{ik \cdot (r_i - r_j)}\)

ここで、\(\hbar\)は換算プランク定数、\(\Omega\)は系の体積、kは波数ベクトルです。k=0の項は発散項を含みますが、これは\(U_0\)と打ち消し合います。これは、実空間において電荷が空間全体に一様に分布していることに対応します。

パラメータrs：電子の密度を表す指標

電子の密度\(\rho\)を用いて、無次元のパラメータrsを次のように定義します。

\(r_s = \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/3} \frac{1}{a_B}\)

ここで、\(a_B\)はボーア半径です。rsは電子の密度を表す重要なパラメータで、値が大きいほど低密度、小さいほど高密度に対応します。金属では、rsは通常2～5の値を取ります。

密度と性質：高密度、低密度、中密度領域

rsの値によって、電子ガスの性質は大きく変化します。

高密度領域 (rs < 1): 乱雑位相近似(RPA)が有効な近似となり、比較的容易に解析できます。
低密度領域 (rs > 100): 電子はウィグナー結晶と呼ばれる規則的な構造を形成すると考えられています。電子間の相関効果が顕著に現れます（強相関電子系）。
* 中密度領域 (2 < rs < 5): 金属程度の密度に対応し、解析が最も困難な領域です。高密度・低密度領域の結果を基にした外挿や内挿、密度汎関数法などの近似的手法を用いて研究されています。

電子ガス模型は、固体物理学、プラズマ物理学など、様々な分野で活用され、物質の性質を理解するための基礎となっています。

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