ジェリウムモデル

ジェリウム模型：金属の簡略化モデル

ジェリウム模型（Jellium model）は、固体物理学において、固体内の原子核の正電荷と電子密度が空間的に均一に分布しているという仮定に基づく単純化されたモデルです。このモデルでは、複雑な結晶構造を考慮する必要がなくなり、電子の量子力学的性質や、電子同士の相互作用に起因する効果について、比較的容易に議論を進めることができます。均一電子ガス（Uniform Electron Gas, UEG）または一様電子ガス（Homogeneous Electron Gas, HEG）とも呼ばれます。

ジェリウム模型の利点と用途

ジェリウム模型は、非局在化した金属中の電子の挙動を単純化して表現するのに非常に便利です。このモデルを用いることで、金属の様々な特徴、例えば電子の遮蔽効果、プラズモン励起、ウィグナー結晶化、フリーデル振動などを定性的に再現できます。

特に絶対零度においては、ジェリウムの性質は電子密度のみによって決定されます。この性質は、密度汎関数理論（DFT）における計算を簡略化する上で非常に役立ちます。実際、ジェリウム模型は、交換-相関エネルギー密度汎関数への局所密度近似（LDA）の基礎を与える重要なモデルとなっています。

「Jellium」という名称は、コニャーズ・ヘリングによって命名されました。「positive jelly」（正電荷のゼリー）というイメージが、均一な正電荷背景と、金属的な振る舞いという特徴をよく表していると考えられています。

ジェリウム模型は、電子状態の計算において単独で使用される場合もありますが、バンド計算においても重要な役割を果たします。例えば、単位胞内で電荷の中性が保たれない場合、そのままでは計算が収束しないといった問題が発生することがあります。このような場合、電荷の過剰または不足を補償するために、均一な正または負の電荷（ジェリウム）を分布させることで、計算上の発散を防ぐことができます。しかし、これはあくまで近似であり、現実の系を完全に記述しているわけではありません。

ジェリウム模型におけるハミルトニアン

電子系のハミルトニアンは以下のように表されます。

$H^{(e)} = \sum_{i} (\frac{p_i^2}{2m} + V_L(r_i)) - \sum_{i
eq j} \frac{e^2}{|r_i - r_j|} + E_I$

ここで、

$V_L(r_i)$ は格子ポテンシャル
$E_I$ はイオンの背景電荷によるエネルギー

です。これらの項は、それぞれ以下のように定義されます。

$V_L(r_i) := -\sum_{\lambda} \frac{Z_{\lambda}e^2}{|r_i - R_{\lambda}|}$

$E_I := \sum_{\lambda
eq \lambda'} \frac{Z_{\lambda}Z_{\lambda'}e^2}{|R_{\lambda} - R_{\lambda'}|}$

ここで、

$r_i$ はi番目の電子の位置
$R_{\lambda}$ はλ番目のイオンの位置
$m$ は電子の質量
$Z_{\lambda}$ はλ番目のイオンの価数

です。

ジェリウム模型では、格子ポテンシャルを連続体近似し、以下の式で近似します。

$V_L(r) \simeq -n\int d^3R \frac{e^2}{|r - R|}$

$E_I \simeq n^2\iint d^3Rd^3R' \frac{e^2}{|R - R'|}$

ここで、nは電子密度です。

まとめ

ジェリウム模型は、固体中の電子の挙動を理解する上で非常に有用な単純化モデルです。その簡潔さから、複雑な計算を回避しつつ、金属の重要な性質を定性的に説明することができます。ただし、近似に基づいているため、現実の系を完全に再現できるわけではありません。密度汎関数理論やバンド計算など、様々な固体物理学の分野で活用されています。

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