電磁場テンソル

電磁場テンソルの概要

電磁場テンソル（でんじばテンソル）は、相対性理論に基づき、電磁場を4次元時空で表現するための重要な数学的概念です。これは二階の反対称テンソルであり、特殊相対性理論のフレームワークで特に使用されます。電磁場テンソルは、電場と磁場を統一的に扱うための道具として、様々な物理現象を説明する上で不可欠です。

定義

電磁場の強度を表すテンソルFは次のように定義されます。ここで、Aは電磁ポテンシャルを表す相対論的な4元ベクトルであり、微分もまた相対論的な4元ベクトルとして扱われます。電磁場テンソルは反対称性を持つため、その独立した成分は6つに限られ、これらは3次元空間の電場強度Eと磁束密度Bの各成分に対応しています。具体的な成分は次のように示されます。

$$
F^{
u} = ...。
$$

また、電場の強度Eと磁束密度Bは、電磁ポテンシャルを用いて表現することができます。このため、電圧や電流の変化を解析する際に非常に多くの応用が存在します。

双対テンソル

電磁場強度Fに関連して、完全反対称テンソルεを利用することで双対なテンソルFが定義されます。これは電磁場の記述において重要な役割を果たします。双対テンソルは次のように表現されます。

$$
F^{} = ...。
$$

媒質中の電磁場

媒質中の電磁場を記述するために、電束密度Dと磁場の強度Hは、電磁場の強度Fを用いて相対論的な形式で記述される二階のテンソルGによって表されます。このテンソルGはサブ電磁テンソルとも呼ばれ、次の関係が成り立ちます。

$$
G = F + P。
$$

ここでPは分極テンソルであり、誘電分極Pと磁化Mの成分で構成されています。

マクスウェルの方程式

電磁場テンソルを用いることで、相対論的な形式でマクスウェルの方程式を表すことができます。これは電磁場の基本的な性質を理解するための鍵となる方程式です。

$$
∂_{
u} F^{
u} = j。
$$

ここでjは4元電流密度を示します。これらの方程式は電場と磁場の相互作用についての深い洞察を提供します。

ローレンツ力

電磁場テンソルは、荷電粒子に対するローレンツ力を記述する際にも使用されます。相対論的な粒子の位置を表す場合、次の式が成り立ちます。

$$
F = q(E + v imes B)。
$$

ここで、vは粒子の速度を示し、この力量が荷電粒子の運動にどのように影響を与えるかを表しています。

一般相対論における適用

一般相対論においては、時空の曲率がある場合に共変微分が必要となりますが、電磁場強度Fはその定義が変更されることなく、反対称性により共変微分の効果が相殺されます。そのため、テンソルとしての性質を保持します。運動方程式も共変微分に従って再定義される必要がありますが、ビアンキ恒等式はそのまま有効です。

参考文献

• - L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ『場の古典論』（東京図書、1978年）
• - J.D.ジャクソン『電磁気学』（吉岡書店、2003年）

このように、電磁場テンソルは相対性理論の枠組みの中で電場と磁場の相互作用を理解するために欠かせない重要な概念であり、物理現象の解析に広く利用されています。

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