非圧縮性流れ

概要

流体力学における「非圧縮性流れ」とは、流体の流れに伴う密度の変化が実質的に無視できる流れの状態を指します。これは、流動によって流体の体積がほとんど変化しないと見なせる状況です。厳密には、速度とともに移動する流体要素の密度が時間的に一定であるという条件（密度の物質微分がゼロ）を意味し、これは速度場の発散がゼロであることと同等であることが知られています。

この概念は、連続体力学における非圧縮性の考え方を流体に応用したものです。しばしば「縮まない流れ」と表現されますが、これは流体の物性としての「非圧縮性」（例えば水や油のように圧力をかけても体積がほとんど変わらない性質）とは区別が必要です。非圧縮性流れは、あくまでその「流れ場」の性質を示す言葉であり、流体そのものの性質を指すわけではありません。

対照的に、流動によって密度が顕著に変化する流れは「圧縮性流れ」と呼ばれます。非圧縮性流れは、通常、流速が音速に比べて十分小さい場合（具体的には、マッハ数が概ね0.3よりはるかに小さい場合）に良い近似として成立します。マッハ数が0.3を超えるか、または流体が大きな圧力変化を受けるような場合には、密度変化を考慮した圧縮性流れとして扱う必要があります。興味深いことに、気体は一般に圧縮可能ですが、低マッハ数では非圧縮流れとして扱え、液体は圧縮されにくい性質を持ちますが、高マッハ数では圧縮性流れとして扱う必要がある場合もあります。

厳密な意味で、自然界に完全に密度の変化しない流れは存在しません。したがって、非圧縮性流れのモデルは、現実の流れに対する有効な「近似」として用いられます。

速度の発散ゼロの条件

非圧縮性流れの基本的な要件は、流体要素（流体とともに移動する微小体積）内の密度が一定であることです。この条件が、速度場の発散がゼロであることと数学的に等価であることを導出してみましょう。

流体における物理量の保存則を考える際に重要なのが、質量保存則です。これは、任意の領域（コントロールボリューム）V内の流体の質量mの時間変化が、その境界Sを通過する質量の出入り（質量流束 J）によってのみ起こるという原則です。数式では以下のように表されます。

- 領域V内の質量: $m = \iiint_V \rho \,dV$
- 質量保存則（領域V内の質量の時間変化は、境界面Sからの流出に等しい）: $\frac{\partial m}{\partial t} = -\iint_S \boldsymbol{J} \cdot d\boldsymbol{S}$

ここで、質量流束 J は密度 $\rho$ と流体速度 v を用いて J = $\rho$ v と表されます。また、面積分をガウスの発散定理を用いて体積積分に変換すると、質量保存則は微分形で表現される連続の式となります。

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \operatorname{div} \boldsymbol{J} = - \operatorname{div} (\rho \boldsymbol{v})$

これを展開すると：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad} \rho \cdot \boldsymbol{v} + \rho (\operatorname{div} \boldsymbol{v}) = 0$

この連続の式は、あらゆる流れについて成り立つ基本的な式です。次に、流体要素の密度変化を考えるために、流体とともに移動する視点（ラグランジュ的視点）での密度の時間変化率、すなわち密度の「物質微分」（または実質微分）を考えます。物質微分は、ある点での時間変化率（時間微分）と、流れによってその点に運ばれてくるものの空間的な変化率（対流項）の合計で表されます。

密度の物質微分: $\frac{D\rho}{Dt} := \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad} \rho$

連続の式をこの物質微分を用いて書き直すと、以下のようになります。

$\frac{D\rho}{Dt} = -\rho (\operatorname{div} \boldsymbol{v})$

非圧縮性流れの定義は、流体要素の密度が時間的に変化しないこと、すなわち密度の物質微分がゼロであることです ($\frac{D\rho}{Dt} = 0$)。したがって、$\rho
eq 0$ であれば、上記の式から直ちに速度場の発散がゼロであること ($\operatorname{div} \boldsymbol{v} = 0$) が導かれます。

このことから、非圧縮性流れであることと、速度場の発散がゼロであることは数学的に等価な条件であることが分かります。

圧縮率とソレノイド場

非圧縮性の度合いを示す指標として「圧縮率」 $\beta$ が用いられることがあります。これは圧力変化に対する密度変化の比率として定義されます。 $\beta := \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp}$。圧縮率がゼロである流体を非圧縮性流体と定義することもありますが、これは流れの性質としての非圧縮性流れとはニュアンスが異なります。

数学的には、発散が常にゼロであるベクトル場は「ソレノイド場」と呼ばれます。したがって、非圧縮性流れにおける速度場はソレノイドベクトル場です。もし速度場がさらに回転もゼロ（渦なし）である場合、それは「ラプラス場」と呼ばれます。

非圧縮性流れと非圧縮性物質の違い

ここで、非圧縮性流れの厳密な定義 $\operatorname{div} \boldsymbol{v} = 0$（⇔ $\frac{D\rho}{Dt} = 0$）と、「非圧縮性物質」の概念との違いを明確に理解することが重要です。

- 非圧縮性流れ: これは流れ場の性質であり、流体要素を追跡したときにその密度が一定に保たれることを意味します。 $\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad} \rho = 0$ が成り立ちます。固定された位置での密度が時間変化すること（$\frac{\partial \rho}{\partial t}

eq 0$）や、場所によって密度が異なること（$\operatorname{grad} \rho
eq 0$）は非圧縮性流れの定義と矛盾しません。ただし、これらの変化が対流項によってちょうど打ち消される必要があります。

- 非圧縮性物質: これは流体そのものの性質であり、その密度が空間的にも時間的にも常に一定である（$\rho = \text{constant everywhere}$）と定義されます。この場合、当然 $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ かつ $\operatorname{grad} \rho = 0$ が同時に成り立ちます。

非圧縮性物質であれば、$\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad} \rho = 0 + \boldsymbol{v} \cdot 0 = 0$ となり、常に非圧縮性流れとなります。しかし、非圧縮性流れであっても、非圧縮性物質であるとは限りません（例えば、成層した流体における非圧縮性流れなど）。

多くの流体力学の文献や応用分野では、計算上の便宜などから、非圧縮性流れの仮定に加えて密度の空間的・時間的変化もない（すなわち非圧縮性物質であると見なす）という慣習的な仮定が置かれることがあります。これは厳密には異なる条件ですが、特に断りなく「非圧縮性流れ」として扱われることが多いです。この混同を避けるため、特に厳密な議論をする際には「非圧縮性物質」や「体積一定の流れ」といったより明確な表現が好まれます。

非圧縮性流れの数値解析

非圧縮性流れを記述する方程式系（例えばナビエ・ストークス方程式）は、圧縮性流れの場合と比べて数学的な性質が異なります。特に、圧力項の扱いが特徴的で、速度場をソレノイド場にする制約を満たすように圧力が決定されるという構造を持ちます。この性質のため、非圧縮性流れの方程式を数値的に解くためには、特定のアルゴリズムが開発されています。代表的なものとして、時間発展を速度と圧力のステップに分ける「投影法」、計算を安定化させるために人工的な圧縮性を導入する「人工圧縮性法」、収束性を改善するための「圧縮性プレコンディショニング」などがあります。

非圧縮性流れ

非圧縮性流れ

概要

速度の発散ゼロの条件

圧縮率とソレノイド場

非圧縮性流れと非圧縮性物質の違い

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関連項目