非整数ブラウン運動

非整数ブラウン運動

非整数ブラウン運動（Fractional Brownian Motion, fBm）とは、自己相似性や長期依存性を有するガウス過程のことを指します。1940年にコルモゴロフによって自己相似過程が提唱され、1968年にはマンデルブロとVanNessによってfBmという名称がつけられました。この過程は、ハースト（Hurst）がナイル川流域の水量に関するモデルに初めて応用したことで知られ、その後、経済時系列データや通信トラフィックのモデリングにも広く使用されています。

特徴

非整数ブラウン運動は以下のような特性を持っています。

1. 自己相似性: 確率過程は自己相似的であり、時間スケールを変えたときも同様の性質を保ちます。
2. ガウス過程: fBmはガウス過程の一種であり、特に正規分布に従います。
3. 連続性: 時間に対する連続関数として定義され、散発的な跳躍はありません。
4. 定常増分: 増分は定常的であり、平均は常にゼロです。
5. 特定の初期条件: 過程の開始点であるB_H(0)は常にゼロに設定されています。

また、増分の分散は、以下の式で与えられます。

\[ E[(B_H(t) - B_H(s))^2] = \sigma^2 |t - s|^{2H} \]

ここで、σは標準偏差であり、Hはハースト指数です。特に、Hの値によってfBmの性質が大きく変化します。

自己相似性の詳細

非整数ブラウン運動は、統計的に自己相似的です。例えば、スケールをλ倍したときには、平均と分散の関係が維持されます。さらに、自己相似性は共分散にも表れ、特定の時間点における値の相関関係を示します。

長期依存性

fBmは長期依存性を持つことが特徴です。ハースト指数が1/2より大きいときは、増分の間に長期的な依存関係が見られます。逆に、H < 1/2の場合は短期依存が顕著となります。具体的には、増分間の自己共分散は、増分が逆に影響を与える様子を示し、特定の条件下では収束する挙動を取ります。

過去と未来の相関

fBmにおいて、過去の増分と未来の増分はその相関によって影響し合います。ハースト指数が1/2より大きい場合、過去と未来にポジティブな相関が生まれ、上昇トレンドが続く可能性があります。一方、Hが0と1/2の間の場合は、反持続的な性質があり、過去のトレンドとは逆のトレンドが燃え上がる傾向が強まります。

マルチンゲール性

H=1/2のとき、fBmはマルチンゲール性を持ちますが、H≠1/2では必ずしもそうとは限らず、半マルチンゲール性が成立しないことが示されています。これにより、理論上の裁定が可能となるため、実務上の取引に変化をもたらす可能性があります。

フラクタル次元

fBmのフラクタル次元は、ハウスドルフ次元DH = 2 - Hで表され、この次元もHの値によって変わります。これらの性質は、非整数ブラウン運動をさまざまな分野での解析に利用する基礎を形成します。

結論

非整数ブラウン運動は、自己相似性や長期依存性を持ち、経済や通信のモデル化において重要な役割を果たしています。これを理解し応用することは、データ解析や予測において有効な手段となるでしょう。

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