1−1+2−6+24−120+…

発散級数とその有限値

発散級数は、無限に加算することによって得られる合計が発散する級数を指します。この中でも特に興味深いのは、階乗に関連する交項級数です。具体的には、次の式で表されます。

$$
ext{sum} = ext{∑}_{k=0}^{ ext{∞}} (-1)^{k} k!
$$

この級数は、その性質上、通常の意味での合計が存在しません。しかし、数学者オイラーはこの問題に取り組み、微分方程式を利用して発散級数に有限の値を割り当てる「形式総和法」を提案しました。これにより、このような級数の取り扱いが可能になりました。

ボレル和の考え方

発散級数の値を知るための簡単な方法の一つは、ボレル和を利用することです。ボレル和を考慮することで次のような等式が成り立つことが知られています。

$$
ext{∑}_{k=0}^{ ext{∞}} (-1)^{k} k! = ext{∑}_{k=0}^{ ext{∞}} (-1)^{k} ext{∫}_{0}^{ ext{∞}} x^{k} e^{-x} ext{d}x
$$

ここで、式の左右はどちらも発散しますが、この等式は形式的な等号です。より進めて、無限和と積分が交換できると仮定すると次のような式が導かれます。

$$
ext{∑}_{k=0}^{ ext{∞}} (-1)^{k} k! = ext{∫}_{0}^{ ext{∞}} rac{e^{-x}}{1 + x} ext{d}x
$$

この右辺の積分はフォレル和の意味において有限な値を持ち、その計算は次のような結果を生み出します。

$$
ext{∑}_{k=0}^{ ext{∞}} (-1)^{k} k! = e E_{1}(1) ext{ (近似値: 0.5963473623…)}
$$

ここで、$E_{1}(z)$は指数積分として知られています。

微分方程式における計算

次に、微分方程式を考えてみましょう。次のシステムに注目します。

$$
egin{cases}
rac{dx}{dt}(t) = x(t) - y(t), \\
rac{dy}{dt}(t) = -y(t)^{2}
egin{cases}
$$

この方程式において安定解を見つけると、$t$が無限大に近づくにつれて$(x, y) = (0, 0)$に収束します。安定解は次のように表現されます。

$$
y(t) = rac{1}{t}
$$

ここに得られた解を元の方程式に代入し、$x$を形式冪級数の形で表現すると、

$$
x(t) = ext{∑}_{n=1}^{ ext{∞}} (-1)^{n+1} rac{(n - 1)!}{t^{n}}
$$

この式の特定の値、すなわち$x(1)$が、我々が求めている級数の和を示しています。さらに、元の微分方程式からの解析解を導出すると、

$$
x(t) = e^{t} ext{∫}_{t}^{ ext{∞}} rac{e^{-u}}{u} ext{d}u
$$

この結果は、部分積分の繰り返し適用によって展開され、$x(t)$の漸近展開が得られます。オイラーは、これらの結果を等しく設定し、次のような等式を得ました。

$$
ext{∑}_{n=1}^{ ext{∞}} (-1)^{n+1} (n - 1)! = e ext{∫}_{1}^{ ext{∞}} rac{e^{-u}}{u} ext{d}u
$$

この結果は、ボレルの和による計算結果と一致し、発散級数に対する興味深い展望を提供します。

参考文献

Euler, L. (1760), “De seriebus divergentibus” (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (5): 205-237, リンク

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