2の自然対数とは？意味をやさしく解説 - サードペディア百科事典

2の自然対数とは

2の自然対数は、数学定数の一つで、自然対数関数 `log x` において `x=2` の時の値を指します。通常 `log 2` と表記されますが、ネイピア数 `e` を底とすることを明確にするために `ln 2` や `loge 2` と書かれることもあります。この数は正の実数であり、その値は以下のように無限に続く小数です。

`log 2 = 0.69314 71805 59945 30941 72321…`

この小数表示は循環しないため、`log 2` は無理数です。さらに、この数は超越数であることが知られており、これは有理数を係数とするいかなる代数方程式の解にもならないことを意味します。

定義としては、指数関数 `e^z = 2` を満たすただ一つの実数 `z` が `log 2` です。

数学的な性質

`log 2` は様々な数学的な性質を持ちます。

級数による表示

`log 2` は無限級数の和として表現することができます。最も有名なのは、自然対数 `log(1+x)` のテイラー展開に `x=1` を代入することによって得られる交代級数です。

`log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + …`

この無限級数は、足し合わせる項が増えるにつれて徐々に `log 2` の値に近づいていくことが知られています。この級数は、ディリクレのイータ関数 `η(s)` の `s=1` における値と一致します。

`η(1) = log 2`

他にも、`log 2` は異なる収束速度を持つ様々な級数で表すことが可能です。

積分による表示

積分を用いて `log 2` を表現することもできます。関数 `y = 1/x` のグラフの下の面積を考えるとき、`x=1` から `x=2` までの区間の面積が `log 2` に等しくなります。

`∫[1 to 2] (1/x) dx = log 2`

これは、自然対数が原始関数 `1/x` の積分によって定義されることからも理解できます。

無理数・超越数としての性質

前述の通り、`log 2` は無理数ですが、さらに強い性質として超越数であることが、リンデマンの定理によって証明されています。これは、円周率 `π` やネイピア数 `e` が超越数であることと同様の性質です。

しかしながら、`log 2` が正規数（数字の並びが統計的に均等に現れる数）であるかどうかは、現在も数学上の未解決問題です。

科学と経済における応用

`log 2` は、純粋数学だけでなく、様々な科学技術や経済の分野でも重要な役割を果たします。

半減期

放射性崩壊や多くの化学反応（特に一次反応）において、反応物質の量が初期値の半分になるまでに要する時間、すなわち半減期 `τ` を計算する際に `log 2` が現れます。一次反応の速度は物質の濃度に比例し、その変化は微分方程式 `-dC/dt = kC` （`C` は濃度、`k` は反応速度定数）で記述されます。この式を積分すると、半減期 `τ` と反応速度定数 `k` の間に `log 2 = kτ` という関係が導かれます。つまり、どんな一次反応でも、反応速度定数と半減期の積は常に `log 2` という定数になります。

72の法則

複利で資産を運用する際に、元利合計が当初の2倍になるまでのおよその年数を計算する簡便な法則として「72の法則」があります。年利率を `r` としたとき、元金が2倍になる年数 `n` は厳密には `n = log 2 / log(1+r)` で計算されます。ここで、利率 `r` が十分に小さい場合、`log(1+r)` は約 `r` と近似できます（テイラー展開の一次の項）。この近似を用いると、`n ≈ log 2 / r` となります。`log 2` が約 0.693 であることから、`n ≈ 0.693 / r` となります。年利率をパーセント表示（例えば3%なら `r = 0.03`）で考えることが多い実用上では、`n ≈ 69.3 / (年利%)` となります。計算を容易にするため、69.3に近い約数の多い数、特に72を用いることが一般的です。つまり、「72 ÷ 年利（パーセント） ≒ 資産が2倍になる年数」という法則が成り立ちます。この法則は15世紀のイタリアで既に知られていたとされています。

2の自然対数