APW法

APW法（Augmented Plane Wave method）は、物質の電子状態を計算するための第一原理バンド計算手法です。1937年にジョン・クラーク・スレイターによって考案され、その後、改良を重ねながら現在も広く利用されています。この手法は、マフィンティンポテンシャルと呼ばれる原子ポテンシャルモデルに基づいており、物質中の電子の挙動を高い精度で計算できることで知られています。

APW法では、空間を原子中心の球状領域（マフィンティン球）と、その間の領域（格子間領域）に分割します。マフィンティン球内では、球面波を基底関数として使用し、格子間領域では平面波を基底関数として使用します。この二種類の基底関数を組み合わせることで、原子核近傍の電子の挙動と、原子間領域の電子の挙動を精度良く記述することが可能になります。

マフィンティン球と格子間領域の境界では、波動関数とその導関数の連続性を満たす必要があります。しかし、APW法では、導関数の連続性は必ずしも満たされず、この点がAPW法の欠点の一つでした。この不連続性は計算精度に影響を与えますが、APW法の簡便性と計算効率を考えると、許容範囲内とみなされてきました。

さらに、APW法では、計算過程で固有値（求めるべきエネルギー）が行列要素の中に含まれるという問題がありました。そのため、自己無撞着な計算（セルフコンシステント計算）を行う必要があり、計算に時間がかかるという課題がありました。これは、解くべき方程式が非線形であるためです。

これらの問題点を解決するために、様々な改良が加えられてきました。まず、線形化されたAPW法（LAPW法）が開発されました。LAPW法では、固有値を含む項を線形化することで、計算の効率化と精度向上を実現しました。また、全ポテンシャルAPW法（FLAPW法）では、マフィンティンポテンシャルの制限を取り除き、より現実的なポテンシャルを用いた計算を可能にしました。さらに、局在軌道（local orbital）を基底関数に加えることで精度を向上させたAPW+lo法なども提案されています。

APW法とその改良版は、金属や半導体、絶縁体など、様々な物質の電子状態計算に適用され、物質の物性解明に大きく貢献しています。特に、複雑な結晶構造を持つ物質の計算に威力を発揮し、様々な分野の研究で重要なツールとなっています。近年では、計算機の性能向上により、より複雑な計算も可能になり、APW法はますます重要な手法となっています。しかし、計算コストは依然として課題であり、より効率的な計算手法の開発も盛んに行われています。

参考文献

J. C. Slater (1937). Physical Review 51: 846.
E. Sjöstedt, L. Nordström and D. J. Singh (2000). Solid State Communications 114 (15).
アシュクロフト・マーミン『固体物理の基礎』

関連項目

第一原理バンド計算
マフィンティンポテンシャル
ASW法
LAPW法
FLAPW法

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