CES型関数

CES型関数（Constant Elasticity of Substitution Function）

CES型関数とは、生産要素間、または財のバラエティ間の代替の弾力性が一定である生産関数や効用関数のことです。代替の弾力性が一定であるという特徴から、経済学の様々な分野で応用されています。

概要

CES型関数は、複数の財のバラエティから効用を得る効用関数や、複数の生産要素から財を生産する生産関数において、バラエティ間または生産要素間の代替の程度が一定となる場合に用いられます。この概念の確立には、ジョン・ヒックスやジョーン・ロビンソンなどが貢献しました。

CES型生産関数

CES型生産関数を仮定すると、生産要素間の代替の弾力性が一定になります。代替の弾力性は、「生産要素の比率の変化」の「生産の限界代替率の変化」に対する比として定義されます。ロバート・ソローによって導入された資本と労働を生産要素とするCES型生産関数は、その後、ケネス・アローやホリス・チェンリー、バジチャ・ミンハスらの貢献によって広く普及しました。

2生産要素のケース

CES型生産関数は、例えば以下の式で表されます。

math
Q=\left(a_{K}\cdot K^{\rho }+a_{L}\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {1}{\rho }}


ここで、

• - `Q`: 生産量
• - `a_K`, `a_L`: 要素分配率（ただし `a_K + a_L = 1`）
• - `K`: 資本の投入量
• - `L`: 労働の投入量
• - `ρ`: 生産要素間の代替の程度を測るパラメーター
• - `σ`: 代替の弾力性 (`σ = 1 / (1 - ρ)`)

となります。

特殊なケース

• - `ρ`が1に近づく（`σ`がプラス無限大に近づく）と、生産要素が互いに完全代替な線形生産関数となります。
• - `ρ`が0に近づく（`σ`が1に近づく）と、コブ＝ダグラス型生産関数となります。
• - `ρ`がマイナス無限大に近づく（`σ`が0に近づく）と、生産要素が互いに完全補完なレオンチェフ型生産関数となります。

複数生産要素のケース

`n`個の生産要素の一般的なCES型生産関数は、以下のように書けます。

math
Q=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{\rho }\ \right)^{\frac {1}{\rho }}


ここで、

• - `Q`: 生産量
• - `a_i`: 生産要素`i`の分配率（ただし `∑(i=1 to n) a_i = 1`）
• - `X_i`: 生産要素`i`の投入量
• - `ρ`: 生産要素間の代替の程度を測るパラメーター
• - `σ`: 代替の弾力性 (`σ = 1 / (1 - ρ)`)

となります。

宇沢弘文は、生産要素が2つ以上ある場合、定数的代替の弾力性を持つためには、全ての生産要素のペア間の代替の弾力性が等しくなければならないことを示しました。また、生産要素間のペア間で代替の弾力性が異なることを許容するには、一部の代替の弾力性が同じで、その他の代替の弾力性は1でなければならないことを示しました。

CES型関数が入れ子構造になっている生産関数も、部分均衡分析モデルや一般均衡分析モデルで用いられることがあります。入れ子構造を導入することで、異なった代替の弾力性を許容することができます。

CES型効用関数

消費者理論では、CES型効用関数が仮定されることがあります。

複数バラエティのケース

`n`個のバラエティが存在するとき、効用関数は以下のように書けます。

math
U=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\rho }\ \right)^{\frac {1}{\rho }}.


ここで、

• - `U`: 効用水準
• - `x_i`: バラエティ`i`の消費量
• - `σ`: 代替の弾力性 (`σ = 1 / (1 - ρ)`)

となります。

• - `σ`が無限大に近づくと、バラエティ`x_i`は互いに完全代替になり、同質財のバラエティであると解釈できます（市場は完全競争になります）。
• - `σ`が1に近づくと、バラエティ`x_i`は互いに補完的になり、差別化財のバラエティであると解釈できます（市場は独占的競争になります）。

これはCESアグリゲーターとも呼ばれ、ポール・アーミントンによって最初に議論されました。CES効用関数はホモセティックな選好の特別なケースと解釈できます。

効用最大化問題の解

2つの財`x`と`y`があるとき、効用関数が

math
u(x,y)=(x^{\rho }+y^{\rho })^{1/\rho }


で与えられる効用最大化問題を解くと、以下の関数が得られます。

• - 支出関数：

math
e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma })^{1/(1-\sigma )}\cdot u

• - 間接効用関数：

math
v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma })^{1/(1-\sigma )}\cdot I

• - 需要関数：

math
x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{-\sigma }}{p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma }}}\cdot I


math
y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{-\sigma }}{p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma }}}\cdot I


ここで、

• - `I`: 所得水準
• - `p_x`: 財`x`の価格
• - `p_y`: 財`y`の価格

です。

応用

アビナッシュ・ディキシットとジョセフ・E・スティグリッツは、独占的競争市場において最適な財のダイバーシティを考える際にCES型効用関数を用いました。これはディキシット＝スティグリッツ・モデルと呼ばれます。

国際貿易の文脈では、ポール・クルーグマンがCES型効用関数を用いて、多くのバラエティを消費すると効用が上昇する消費者が存在する経済をモデル化し、国際貿易における独占的競争を考えました。そして、消費者の選好と企業レベルの規模の経済から国際貿易を説明する新貿易理論を提示しました。

CES型効用関数と等弾力的効用関数の違いは、CES型効用関数が序数的効用であるのに対し、等弾力的効用関数は基数的効用であるという点です。CES間接双対効用関数を用いると、バラエティの各カテゴリーへの需要構造が内生的に決まる選好を表現することができます。

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