K理論

K-理論とは

K-理論（K-theory）は、数学の広範な分野で用いられる強力な枠組みです。おおまかには、空間の構造に付随する不変量を、大きな行列やそこから派生する代数的構造を用いて捉えようとする理論と言えます。その起源は、位相空間や代数幾何学的な対象（スキーム）の上に定義されるベクトル束や連接層の研究に深く根差しています。

この理論の基本的な考え方は、元の空間やスキームそのものを直接調べるのではなく、それらに関連付けられた代数的な環（K-函手と呼ばれる構成によって得られる）を研究することです。これらの環は、元の対象が持つ特定の構造的な側面を反映しており、元の空間よりも扱いやすい性質を持つことがしばしばあります。代数トポロジーにおけるホモロジー群やコホモロジー群が空間の研究に役立つのと同様のアプローチと言えるでしょう。

K-理論は様々な分野で展開されており、位相空間におけるものは位相的K-理論、代数学や代数幾何学におけるものは代数的K-理論と呼ばれます。また、作用素環論においても基礎的な道具として広く利用されています。

K-理論的研究から得られた顕著な成果としては、位相的K-理論の基本的な性質である「ボットの周期性定理」や、幾何学と解析学を結びつける「アティヤ＝シンガーの指数定理」、そしてK-理論上の作用素である「アダムズ作用素」などが挙げられます。

物理学における応用

近年、K-理論は物理学の分野でも重要な役割を果たしています。特に、高エネルギー物理学におけるII型弦理論では、ツイストK-理論がDブレーンと呼ばれるソリトン的な解やラモン-ラモン場の強さ、あるいは特定の多様体上のスピノル場を分類するために用いられると予想されています。

さらに、物性物理学においても、K-理論は応用を見出しています。例えば、トポロジカル絶縁体や超伝導体、安定フェルミ面といった物質の位相的な性質を分類する際に有効な手段となっています。

理論の黎明期

K-理論の概念が最初に現れたのは、20世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークが「グロタンディーク-リーマンロッホの定理」を定式化する際でした。彼は代数多様体上の連接層を扱うために、層そのものではなく、その同型類が生成する形式的な群を導入しました。この群は「グロタンディーク群」と呼ばれ、「類」を意味するドイツ語の「Klasse」の頭文字を取ってKと名付けられました。局所自由層から構築されるものを K(X)、任意の連接層を用いるものを G(X) と区別することもあります。これらはそれぞれ、コホモロジー的、ホモロジー的な性質を持ちます。

グロタンディークに続いて、マイケル・アティヤとフリードリッヒ・ヒルツェブルフは1959年に、位相空間上のベクトル束に対して同様の構成を適用し、位相的K-理論を定義しました。彼らはボット周期性定理を利用して、K-理論をホモロジー論やコホモロジー論とは異なる「超常コホモロジー論」として位置付けました。これは後の指数定理の証明においても重要な役割を果たしました。この流れは、さらにC*-環に対する非可換K-理論へと繋がっていきます。

また、K-理論の精神的な先駆けとしては、ジャン＝ピエール・セールが1955年に提唱した「セール予想」があります。これはベクトル束と射影加群のアナロジーに基づいたもので、後に肯定的に解決されました。スワンの定理も、このアナロジーを別の側面から捉えたものです。

理論の展開と高次K-理論

代数的K-理論の別の源流として、ホワイトヘッドによる「ホワイトヘッドねじれ」の研究も挙げられます。

黎明期のK-理論は主にK₀群やK₁群といった低次の不変量でしたが、その後の理論の発展において、より高次の情報を取り出すための「高次K-理論函手」が様々な研究者によって提唱されました。決定的な定義は、1969年と1972年にダニエル・キレンによって、ホモトピー論の手法を用いて与えられました。キレンの定義は互いに同値であることが示されています。

さらに、擬イソトピーの研究に関連して、フリードヘルム・ヴァルトハウゼンは「空間の代数的K-理論」と呼ばれる、キレンの理論とは異なるアプローチによるK-理論の変形を構築しました。

現代における高次K-理論の研究は、代数幾何学や「モチーフコホモロジー」といった先端的な分野と密接に関連しています。

K-理論と類似した構成で、特に手術理論において中心的な役割を果たすのが「L-理論」です。これは対象に付帯する二次形式の情報を取り込む点がK-理論と異なります。

物理学における弦理論では、Dブレーンのチャージやラモン-ラモン場の強さをK-理論的に分類するというアイデアが、1997年に初めて提案されて以来、活発に研究されています。

K-理論の具体的な応用例

チャーン指標

チャーン指標は、位相空間のK-理論群からその有理コホモロジー群への準同型写像を構成するための重要なツールです。これにより、K-理論的な情報（ベクトル束のクラスなど）を、より計算しやすいコホモロジーの情報に変換することができます。

ベクトル束に対して定義されるチャーン指標は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の定式化において中心的な役割を担います。

同変K-理論

空間やスキームに群作用が定まっている状況を考える場合、「同変K-理論」が有用です。これは、群作用と整合的なベクトル束や連接層を対象とするK-理論であり、群作用つきの幾何学的対象の不変量を研究する強力な手段となります。

1980年代にはR. W. トーマソンによってこの理論が詳細に研究され、通常のK-理論で成り立つ局所化定理などの基本的な結果が同変版として証明されました。同変K-理論は、表現論や幾何学における多くの問題に応用されています。

K-理論は、その誕生から現在に至るまで、数学の様々な分野を横断し、新しい概念や理論の発展を促す豊かな研究領域であり続けています。

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