P-形式電磁気学

p-形式電磁気学の概要

理論物理学において、p-形式電磁気学は、マックスウェルの理論による従来の電磁気学を一般化したものです。この理論では、1-形式だけでなく、より高次元の形式を用いて電磁場を扱うことができます。具体的には、可換なp-形式電磁気学が中心となり、密度1を持つゲージ不変なp-ベクトルおよび、それに関連する運動方程式が与えられます。

可換なp-形式電磁気学の概要

通常の可換な電磁気学では、1-形式Aがゲージ対称性を持つとされます。これは、次のように表現できます：

$$ A
ightarrow A + d heta $$

ここで、θは任意の固定された0-形式で、dは外微分を示します。この場合、密度1を持つ連続の方程式に従ったベクトルカレントJは、次のように表されます：

$$ d J = 0 $$

ここで、はホッジ双対を示します。このベクトルJは、(d−1)-閉形式としても考慮され、電磁場Fは外微分によって次のように定義されます：

$$ F = dA $$

運動方程式は次の式によって与えられます：

$$ d F = J $$

この方程式は、流れの連続性を保証するものです。

作用Sは、以下のように表されます：

$$ S = rac{1}{2} ext{F} igwedge ext{F} - ext{A} igwedge ext{J} $$

ここで、Mは時空間の多様体を表します。

可換なp-形式電磁気学の一般化

p-形式Bを持つ可換なp-形式電磁気学では、次のようなゲージ対称性が成立します：

$$ B
ightarrow B + d heta $$

θは(p−1)-形式であり、再び外微分dと密度1のゲージ不変なp-ベクトルJを考えます。ここでも、連続の方程式は同様に適用されます：

$$ d J = 0 $$

再び、Jは(d−p)-閉形式とし、Cは次のように定義されます：

$$ C = dB $$

運動方程式は次のようになります：

$$ d C = J $$

この運動方程式も連続の方程式を保証します。

作用Sは次の形で表現されます：

$$ S = rac{1}{2} ext{C} igwedge ext{C} + (-1)^{p} ext{B} igwedge ext{J} $$

ここでもMは時空多様体です。p=2の場合のカルブ・ラモン場や、D-ブレーンが電荷のソースとなるラモン・ラモン場において、この理論はより具体的になります。

非可換の一般化

非可換電磁気学への一般化として、ヤン・ミルズ理論が考えられます。これにより、p-形式電磁気学でも非可換の一般化を達成することができます。特に、ジャーブを用いることが一般的です。

参考文献

• - Henneaux, M., & Teitelboim, C. (1986). p-Form electrodynamics. Foundations of Physics, 16(7), 593-617. doi:10.1007/BF01889624.
• - Bunster, C., & Henneaux, M. (2011). Action for twisted self-duality. Physical Review D, 83(12).
• - Navarro, J., & Sancho, P. (2012). Energy and electromagnetism of a differential k-form*. J. Math. Phys., 53, 102501. doi:10.1063/1.4754817.

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