ホッジ双対

ホッジスター作用素：ベクトル解析の一般化

ホッジスター作用素、またはホッジ双対は、ウィリアム・ホッジによって導入された線形写像です。これは、向き付けられた内積空間（ユークリッド空間のような空間）におけるベクトルの関係性を記述する強力なツールであり、ベクトル解析で馴染み深いクロス積を、より高次元、より抽象的な空間へと一般化したものと考えることができます。

次元と代数的な側面

ホッジスター作用素は、n次元空間においてk個のベクトルからなるk-ベクトルを、(n-k)個のベクトルからなる(n-k)-ベクトルへ写像します。この写像は線形同型写像、つまり一対一の対応関係を保つ写像です。写像後の(n-k)-ベクトルは、元のk-ベクトルのホッジ双対と呼ばれます。

k-ベクトル空間と(n-k)-ベクトル空間の次元はどちらも二項係数 (n k) で与えられ、どちらも同じ次元を持ちます。同じ次元のベクトル空間は常に同型ですが、その同型写像は一意に定まるわけではありません。ホッジスター作用素は、内積と空間の向き付けを用いることで、自然で幾何学的に意味のある同型写像を定めます。

特に3次元ユークリッド空間では、二項係数は1, 3, 3, 1となり、ホッジ双対は3次元ベクトル空間自身とその双対空間（2つのベクトルのウェッジ積から生成される空間）の間の同型写像を与えます。この場合、ホッジ双対はまさにベクトル解析におけるクロス積そのものとなります。クロス積は3次元でのみ定義されますが、ホッジ双対は一般次元で定義されることが大きな利点です。

ホッジスター作用素の定義

ホッジスター作用素は、内積を持つベクトル空間の外積代数上の線形作用素として定義されます。k-ベクトルαとβの内積⟨α, β⟩は、ベクトル空間の内積から自然に定義され、ホッジスター作用素⋆は次の性質を満たします。

α ∧ (⋆β) = ⟨α, β⟩ω

ここで、ωは空間の向き付けを定める単位n-ベクトルです。この式は、k-ベクトルαとβの内積が、αとβのホッジ双対のウェッジ積によって表されることを示しています。この性質により、ホッジスター作用素は一意に定まります。

ホッジスター作用素の計算

直交基底{e1, ..., en}を用いると、ホッジスター作用素は次のように計算できます。

⋆(e1 ∧ e2 ∧ ... ∧ ek) = ek+1 ∧ ek+2 ∧ ... ∧ en

より一般的には、順序付けられた基底の任意のk-ベクトルに対して、ホッジスター作用素は残りの(n-k)個の基底ベクトルのウェッジ積を計算することで求められます。

インデックス記法

インデックス記法を使うと、ホッジ双対はn次元完全反対称レヴィ・チヴィタテンソルとk-形式の添字の縮約によって表現できます。このとき、計量テンソルgの行列式の平方根（絶対値）が係数として現れます。これは、計量が正定値でない場合（例えば、ミンコフスキー空間）も扱うためです。

例：3次元ユークリッド空間

3次元ユークリッド空間において、ホッジスター作用素はベクトルと2-ベクトルの対応を記述します。3次元ベクトルは、3次元空間における軸性ベクトルと解釈でき、そのホッジ双対は対応する2-ベクトルとなります。クリフォード代数を用いると、この対応関係は単位擬スカラーiの作用として表現できます。

特に、3次元ベクトル解析におけるgrad、curl、divといった作用素は、外微分とホッジスター作用素の組み合わせによって表現できます。

4次元空間

4次元空間では、ホッジ双対は2-ベクトル空間の自己準同型写像となります。この場合、ホッジ双対は対合となり、自己双対な2-形式と反自己双対な2-形式に空間を分解します。ミンコフスキー空間におけるホッジスター作用素は、特殊相対性理論において重要な役割を果たします。

多様体への拡張

ホッジスター作用素は、ユークリッド空間だけでなく、より一般的なリーマン多様体や擬リーマン多様体上の余接束にも拡張できます。この場合、ホッジスター作用素は微分形式の内積を定義し、多様体上の微分形式のL2ノルムを計算する際に用いられます。

余微分とラプラス・ド・ラーム作用素

ホッジ双対を用いて、余微分δを定義できます。余微分は外微分の随伴作用素であり、外微分と合わせてラプラス・ド・ラーム作用素∆を定義します。この作用素は、ホッジ理論の中心的な役割を果たし、多様体上の調和形式を調べる際に用いられます。

ホッジ理論

ホッジ理論は、微分形式のコホモロジー（ド・ラームコホモロジー）と調和形式の空間の同型を確立します。ホッジスター作用素はこの同型写像において重要な役割を果たし、コホモロジー群の間の同型を与えるポアンカレ双対性と密接に関連しています。

まとめ

ホッジスター作用素は、ベクトル解析の概念を一般次元、より抽象的な幾何学的空間に拡張する強力なツールです。幾何学、物理学、特に微分幾何学やゲージ理論において幅広く応用されています。特に、マクスウェル方程式をエレガントに表現する際に用いられるなど、物理学における重要性も高いです。

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