三角関数

三角関数：角度と線分の長さの関係を解き明かす数学関数

三角関数とは、平面幾何学における角度と線分の長さの関係を記述する関数群、およびその拡張された関数の総称です。鋭角の場合、三角関数の値は直角三角形の二辺の長さの比、すなわち三角比として定義されます。

三角関数は、単位円を用いた定義から円関数とも呼ばれ、主に以下の6つの関数で構成されます。正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)の3つを特に三角関数と呼ぶ場合もあります。

正弦 (sin, sine): 直角三角形において、角度の対辺の長さと斜辺の長さの比
余弦 (cos, cosine): 直角三角形において、角度の隣辺の長さと斜辺の長さの比
正接 (tan, tangent): 直角三角形において、角度の対辺の長さと隣辺の長さの比
正割 (sec, secant): 余弦関数の逆数
余割 (csc, cosecant): 正弦関数の逆数
余接 (cot, cotangent): 正接関数の逆数

特にsinとcosは、幾何学的および解析的な性質が優れており、様々な分野で活用されています。例えば、波や信号は正弦関数と余弦関数の組み合わせで表現でき、フーリエ級数やフーリエ変換の理論は音声信号の解析や合成に役立っています。また、ベクトルの内積や外積も三角関数で表現可能です。

三角関数の表記法には独特な点があります。関数の累乗はsin²xのように、逆関数はsin⁻¹xのように表記されることが多いです。ただし、文献によっては通常の関数表記と同様に(sin(x))²や(sin)⁻¹(x)と表記されることもあります。また、逆三角関数はarcsin xのように、arcを冠して表記されることもあります。

三角関数と似た性質を持つ関数として、指数関数、双曲線関数、ベッセル関数などがあります。また、sinc関数など、三角関数を利用して定義される関数も応用されています。

三角関数の定義

直角三角形による定義

直角三角形において、1つの鋭角の大きさが決まれば、他の鋭角と3辺の比も決まります。この角度と辺の比の関係から三角関数を定義できます。

∠Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、斜辺ABの長さをh、∠Aの対辺BCの長さをa、隣辺CAの長さをbとすると、三角比は以下のようになります。


sin θ = a/h
cos θ = b/h
tan θ = a/b = sin θ / cos θ
sec θ = h/b = 1/cos θ
csc θ = h/a = 1/sin θ
cot θ = b/a = 1/tan θ


余弦、余割、余接は、角度θの余角(90°−θ)に対する正弦、正割、正接として定義されます。

単位円による定義

単位円上の点を(x, y)とし、x軸の正の部分となす角をtとすると、三角関数は以下のように定義されます。


sin t = y
cos t = x
tan t = y/x = sin t / cos t
csc t = 1/y = 1/sin t
sec t = 1/x = 1/cos t
cot t = x/y = 1/tan t

この定義は0 < t < π/2の範囲では直角三角形による定義と一致します。

級数による定義

幾何学的な概念に依存せず、定義域を複素数に拡張するため、級数展開を用いて定義することもできます。これは、実数の範囲では単位円による定義と一致します。


sin z = Σ ( (-1)^n / (2n+1)! ) z^(2n+1)
cos z = Σ ( (-1)^n / (2n)! ) z^(2n)
tan z = Σ ( (-1)^n 2^(2n) (1 - 2^(2n)) B_(2n) / (2n)! ) z^(2n-1)
// ... (他の三角関数も同様の級数展開で定義)

ここで、B_nはベルヌーイ数、E_nはオイラー数です。

微分方程式による定義

cosxは、y''(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0という微分方程式の解として定義でき、sinxは-d(cosx)/dxとして定義できます。

三角関数の性質

周期性

三角関数は周期関数であり、sinとcosは周期2π、tanとcotは周期πを持ちます。

相互関係

三角関数の間には様々な相互関係が存在します。最も基本的なものとして、ピタゴラスの基本三角関数公式があります。


sin²θ + cos²θ = 1


この式を変形することで、他の三角関数に関する恒等式も導き出せます。負角公式、余角公式、加法定理なども重要な性質です。

逆三角関数

三角関数の逆関数を逆三角関数と呼びます。逆正弦関数(arcsin)、逆余弦関数(arccos)、逆正接関数(arctan)などが含まれます。逆三角関数は多価関数であるため、通常は主値と呼ばれる範囲に制限して用います。

複素関数としての三角関数

オイラーの公式を用いることで、三角関数を指数関数で表現できます。


cos z = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2
sin z = (e^(iz) - e^(-iz)) / (2i)


この表現から、三角関数と双曲線関数との関係性もわかります。

三角関数の応用

三角関数は、数学だけでなく、物理学、工学、コンピュータグラフィックスなど、様々な分野で幅広く応用されています。波動現象の解析、信号処理、空間座標の変換など、多くの場面で重要な役割を果たしています。

まとめ

三角関数は、角度と線分の長さの関係を記述する重要な数学関数です。様々な定義方法があり、多くの重要な性質や相互関係を持ち、多くの分野で応用されています。その理解は、数学や科学の様々な分野を学ぶ上で不可欠です。

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