端点
位相空間論において、空間の端点（たんてん）とは、その空間の「想像上の境界」を構成する連結成分と見なせる概念です。これは、空間の内部で無限遠点へ到達するための、互いに位相的に区別できる様々な方向を捉えるものと言えます。
この端点という概念を、もとの空間に付け加える操作は、端コンパクト化と呼ばれるコンパクト化手法をもたらすことがあります。
位相空間 X における端点の定義は、まず半コンパクト空間（任意のコンパクト部分集合がより大きなコンパクト集合の内部に含まれるような空間）に対して比較的単純に述べられます。
X が半コンパクトである場合、次のような性質を持つコンパクト部分集合の昇列を選びます。
K₁ ⊂ K₂ ⊂ K₃ ⊂ ⋯
各 Kᵢ はコンパクト集合である。
各 Kᵢ の内部の和集合が空間 X 全体を覆う。
このような列 {Kᵢ} に対して、各 X ∖ Kᵢ の連結成分からなる降列
U₁ ⊃ U₂ ⊃ U₃ ⊃ ⋯
を考えたとき、この列 {Uᵢ} の一つ一つが端点に対応します。興味深いことに、このように定義される空間の端点の数は、定義に用いるコンパクト集合の列 {Kᵢ} の具体的な取り方に依存しません。異なる列を選んでも、得られる端点集合の間には自然な全単射が存在することが知られています。
この定義において、端点 {Uᵢ} の近傍は、ある番号 n に対して V ⊃ Uₙ となるような開集合 V と定義されます。これは、端コンパクト化された空間において、対応する無限遠点の近傍を表すものとなります。
より一般的な任意の位相空間に対しては、端点の概念は射影極限を用いて定義されます。X のすべてのコンパクト部分集合とそれらの包含関係から定まる帰納系を考え、これに対応する射影系を、各コンパクト集合 K に対する X ∖ K の連結成分集合 π₀(X ∖ K) と、包含写像によって誘導される写像から構成します。この射影系の射影極限として、X の端点集合が定義されます。この一般的な定義のもとでは、端点集合を取る操作は位相空間の圏から集合の圏への函手となります。上述の半コンパクト空間での定義は、この一般的な定義における特別な場合（コンパクト部分集合の帰納系が共終列を持つ場合）に相当します。
いくつかの位相空間における端点の例を挙げます。
コンパクト空間: 任意のコンパクト空間の端点集合は空集合です。無限遠方向が存在しないためです。
実数直線 ℝ: ℝ は二つの端点を持ちます。コンパクト集合列として閉区間 [-n, n] を取ると、その補集合 ℝ ∖ [-n, n] = (-∞, -n) ∪ (n, ∞) の連結成分である (-∞, -n) と (n, ∞) がそれぞれ降列をなし、対応する二つの端点を与えます。これらは通常、マイナスの無限大とプラスの無限大として認識されるものです。
ユークリッド空間 ℝⁿ (n > 1): 次元が1より大きいユークリッド空間 ℝⁿ は一つだけ端点を持ちます。これは、任意のコンパクト集合 K に対し、ℝⁿ ∖ K の非有界な連結成分が常に一つしかないことに由来します。
境界付き多様体: コンパクトな境界付き多様体の内部における端点の総数は、その境界の連結成分の総数に等しくなります。
ℝ² における半直線の和集合: 原点から出る n 本の相異なる半直線の和集合は n 個の端点を持ちます。
無限完全二分木: このグラフは、ルートから延びる無限に続くパス（下降路）が無数にあることに対応して、非可算無限個の端点を持ちます。これら端点は木の「葉」の無限集合と見なせ、端コンパクト化における端点集合はカントール集合と同じ位相を持ちます。
位相空間の端点という概念は、ドイツの数学者ハンス・フロイデンタールによって1931年に初めて導入されました。
位相空間論以外でも「端点」という言葉が使われる概念があります。
無限グラフ理論: 無限グラフにおける端点は、グラフの半無限路（一方向に無限に続くパス）の同値類として定義されるのが一般的です。あるいは、グラフの頂点の無限集合をその補集合の連結成分に対応させるヘイヴンという概念によって定義されることもあります。特に、各頂点の次数が有限である局所有限グラフについては、このように定義されるグラフ論的な端点と、グラフに適切な位相を入れた空間の位相空間的な端点とが一対一に対応することが知られています。
有限生成群: 有限生成群の端点は、その群のケイリーグラフ（群の構造を表すグラフ）の端点として定義されます。この定義は、群の生成系の選び方に依存しないことが示されています。有限生成の無限群が持つ端点の数は、必ず1、2、または無限大のいずれかになります。群の端点の数によって群を分類したり、その構造を理解したりするための研究が行われています（例: スターリングの定理）。
CW複体: 弧状連結なCW複体に対しても端点が定義されます。これは、空間への固有写像 ℝ₊ → X* （ℝ₊ は非負の実数）のホモトピー類として特徴づけられます。二つの固有写像が、自然数の集合への制限について固有ホモトープであるときに同値とみなし、その同値類を端点と呼びます。
これらの概念は、それぞれの分野で空間や構造の「無限遠」の性質を捉えるために重要な役割を果たしています。
この端点という概念を、もとの空間に付け加える操作は、端コンパクト化と呼ばれるコンパクト化手法をもたらすことがあります。
定義
位相空間 X における端点の定義は、まず半コンパクト空間（任意のコンパクト部分集合がより大きなコンパクト集合の内部に含まれるような空間）に対して比較的単純に述べられます。
X が半コンパクトである場合、次のような性質を持つコンパクト部分集合の昇列を選びます。
K₁ ⊂ K₂ ⊂ K₃ ⊂ ⋯
各 Kᵢ はコンパクト集合である。
各 Kᵢ の内部の和集合が空間 X 全体を覆う。
このような列 {Kᵢ} に対して、各 X ∖ Kᵢ の連結成分からなる降列
U₁ ⊃ U₂ ⊃ U₃ ⊃ ⋯
を考えたとき、この列 {Uᵢ} の一つ一つが端点に対応します。興味深いことに、このように定義される空間の端点の数は、定義に用いるコンパクト集合の列 {Kᵢ} の具体的な取り方に依存しません。異なる列を選んでも、得られる端点集合の間には自然な全単射が存在することが知られています。
この定義において、端点 {Uᵢ} の近傍は、ある番号 n に対して V ⊃ Uₙ となるような開集合 V と定義されます。これは、端コンパクト化された空間において、対応する無限遠点の近傍を表すものとなります。
より一般的な任意の位相空間に対しては、端点の概念は射影極限を用いて定義されます。X のすべてのコンパクト部分集合とそれらの包含関係から定まる帰納系を考え、これに対応する射影系を、各コンパクト集合 K に対する X ∖ K の連結成分集合 π₀(X ∖ K) と、包含写像によって誘導される写像から構成します。この射影系の射影極限として、X の端点集合が定義されます。この一般的な定義のもとでは、端点集合を取る操作は位相空間の圏から集合の圏への函手となります。上述の半コンパクト空間での定義は、この一般的な定義における特別な場合（コンパクト部分集合の帰納系が共終列を持つ場合）に相当します。
例
いくつかの位相空間における端点の例を挙げます。
コンパクト空間: 任意のコンパクト空間の端点集合は空集合です。無限遠方向が存在しないためです。
実数直線 ℝ: ℝ は二つの端点を持ちます。コンパクト集合列として閉区間 [-n, n] を取ると、その補集合 ℝ ∖ [-n, n] = (-∞, -n) ∪ (n, ∞) の連結成分である (-∞, -n) と (n, ∞) がそれぞれ降列をなし、対応する二つの端点を与えます。これらは通常、マイナスの無限大とプラスの無限大として認識されるものです。
ユークリッド空間 ℝⁿ (n > 1): 次元が1より大きいユークリッド空間 ℝⁿ は一つだけ端点を持ちます。これは、任意のコンパクト集合 K に対し、ℝⁿ ∖ K の非有界な連結成分が常に一つしかないことに由来します。
境界付き多様体: コンパクトな境界付き多様体の内部における端点の総数は、その境界の連結成分の総数に等しくなります。
ℝ² における半直線の和集合: 原点から出る n 本の相異なる半直線の和集合は n 個の端点を持ちます。
無限完全二分木: このグラフは、ルートから延びる無限に続くパス（下降路）が無数にあることに対応して、非可算無限個の端点を持ちます。これら端点は木の「葉」の無限集合と見なせ、端コンパクト化における端点集合はカントール集合と同じ位相を持ちます。
歴史
位相空間の端点という概念は、ドイツの数学者ハンス・フロイデンタールによって1931年に初めて導入されました。
グラフおよび群の端点
位相空間論以外でも「端点」という言葉が使われる概念があります。
無限グラフ理論: 無限グラフにおける端点は、グラフの半無限路（一方向に無限に続くパス）の同値類として定義されるのが一般的です。あるいは、グラフの頂点の無限集合をその補集合の連結成分に対応させるヘイヴンという概念によって定義されることもあります。特に、各頂点の次数が有限である局所有限グラフについては、このように定義されるグラフ論的な端点と、グラフに適切な位相を入れた空間の位相空間的な端点とが一対一に対応することが知られています。
有限生成群: 有限生成群の端点は、その群のケイリーグラフ（群の構造を表すグラフ）の端点として定義されます。この定義は、群の生成系の選び方に依存しないことが示されています。有限生成の無限群が持つ端点の数は、必ず1、2、または無限大のいずれかになります。群の端点の数によって群を分類したり、その構造を理解したりするための研究が行われています（例: スターリングの定理）。
CW複体: 弧状連結なCW複体に対しても端点が定義されます。これは、空間への固有写像 ℝ₊ → X* （ℝ₊ は非負の実数）のホモトピー類として特徴づけられます。二つの固有写像が、自然数の集合への制限について固有ホモトープであるときに同値とみなし、その同値類を端点と呼びます。
これらの概念は、それぞれの分野で空間や構造の「無限遠」の性質を捉えるために重要な役割を果たしています。
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