はめ込み
数学において、はめ込み（immersion）とは、可微分多様体 M から可微分多様体 N への可微分写像 f のうち、その微分が M の任意の点 p において単射となるもののことを指します。
より具体的に言うと、多様体 M の点 p における接空間を T_p M、多様体 N の点 f(p) における接空間を T_{f(p)} N とするとき、f の点 p における微分写像 D_p f : T_p M → T_{f(p)} N が線形写像として単射であることを条件とします。これは、同値な条件として、微分写像 D_p f の階数（ランク）が M の次元 dim M に等しいこと、すなわち rank D_p f = dim M が M のすべての点 p で成り立つこととしても定義できます。
はめ込みの重要な特徴は、写像 f 自身が必ずしも単射である必要がないという点です。これは、定義域 M の異なる点が、写像先 N において同じ点に写像される、すなわち自己交差が許される可能性があることを意味します。
はめ込みと密接に関連する概念に埋め込み（embedding）があります。滑らかな埋め込みとは、単射であることに加えて、定義域多様体 M が写像先多様体 N の中に微分同相な像として収まるような、単射なはめ込みのことです。
はめ込みは、局所的には常に埋め込みとして振る舞います。すなわち、多様体 M の任意の点 x に対して、その点の近傍 U ⊂ M を適切に小さく取れば、U 上での写像 f の制限 f|_U は N への埋め込みとなります。この性質は、はめ込みの定義として採用されることもあります。
ただし、M がコンパクト多様体である場合には、単射なはめ込みは常に埋め込みとなりますが、M がコンパクトでない場合は、単射であっても埋め込みにならない例が存在します。
2つのはめ込み f, g : M → N の間の正則ホモトピーとは、可微分写像 H : M × [0, 1] → N であり、任意の時刻 t ∈ [0, 1] を固定したときに得られる写像 H_t : M → N （H_t(x) = H(x, t)）が常にはめ込みとなるものを指します。これは、はめ込みという性質を保ったまま、あるはめ込みから別のはめ込みへと連続的に変形するパスを提供します。
はめ込みに関する体系的な研究は、1940年代にハスラー・ホイットニーによって始められました。彼は、多様体の次元に関する特定の条件下（例えば 2 dim M < dim N + 1）で、任意のマッピングがはめ込みに正則ホモトピックとなることや、さらに厳しい条件下（2 dim M < dim N）では埋め込みに正則ホモトピックとなることを証明しました。これらはホイットニーのはめ込み定理および埋め込み定理として知られています。
スティーブン・スメールは、多様体からユークリッド空間 Rn へのはめ込みの正則ホモトピー類が、特定のホモトピー群によって分類できることを示しました。彼の研究の中でも特に有名な成果の一つに、球体の裏返し（sphere eversion）があります。これは、球面を自己交差を許すはめ込みの変形操作のみによって、裏表をひっくり返すことができるという直感に反する事実を示したものです。
その後、モリス・ハーシュはスメールの結果を一般化し、多様体 N 内への多様体 M のはめ込みの正則ホモトピー類をホモトピー論的に記述しました。これらのSmale-Hirschの理論は、後にマイケル・グロモフによってホモトピー原理というさらに一般的な枠組みの中に位置づけられました。
クラインの壺や、向き付け不可能な閉曲面（例えば実射影平面）は、3次元ユークリッド空間にはめ込むことができますが、自分自身と交わることなく埋め込むことはできません。
k 弁のバラは、円周を平面へはめ込んだ際に一点でk個の「花びら」が集まる図形として実現されます。
円周の平面へのはめ込みに関しては、ホイットニー・グラウスタインの定理により、正則ホモトピー類が回転数（winding number）によって完全に分類されます。この回転数は、曲線の全曲率を2πで割った値に等しく、代数的な意味での二重点の個数としても解釈できます。
前述の球体の裏返しは、球面のはめ込みの正則ホモトピーによる興味深い例です。
ボーイ曲面は、実射影平面の3次元空間へのはめ込みであり、球面の2対1のはめ込みとしても見ることができます。
はめ込まれた平面曲線は、自己交差を持ちうる平面上の滑らかな曲線です。これらは回転数という不変量によって正則ホモトピー類が決定されます。また、これらの交点を持ち上げることで、結び目理論における結び目図式を得ることができ、この分野の中心的な研究対象の一つとなっています。
はめ込みであるという条件（微分の階数が一定であること）は、関数の偏微分に関する条件として記述できます。このような条件は偏微分関係式（Partial Differential Relation, PDR）の一種とみなすことができます。
Smale-Hirschによるはめ込み理論は、特定のPDRがホモトピー論的な問題に帰着するという結果を示しました。ホモトピー原理は、このような現象、すなわちPDRがいつ、どのようにホモトピー論によって解決されるかという問いに対し、一般的な条件や理由を与える理論として、はめ込み理論をその重要な適用例の一つとして含んでいます。
はめ込み理論は、位相幾何学や微分幾何学において、多様体の構造やその埋め込み可能性・はめ込み可能性を探る上で基本的な役割を果たしています。
より具体的に言うと、多様体 M の点 p における接空間を T_p M、多様体 N の点 f(p) における接空間を T_{f(p)} N とするとき、f の点 p における微分写像 D_p f : T_p M → T_{f(p)} N が線形写像として単射であることを条件とします。これは、同値な条件として、微分写像 D_p f の階数（ランク）が M の次元 dim M に等しいこと、すなわち rank D_p f = dim M が M のすべての点 p で成り立つこととしても定義できます。
はめ込みの重要な特徴は、写像 f 自身が必ずしも単射である必要がないという点です。これは、定義域 M の異なる点が、写像先 N において同じ点に写像される、すなわち自己交差が許される可能性があることを意味します。
埋め込みとの関連
はめ込みと密接に関連する概念に埋め込み（embedding）があります。滑らかな埋め込みとは、単射であることに加えて、定義域多様体 M が写像先多様体 N の中に微分同相な像として収まるような、単射なはめ込みのことです。
はめ込みは、局所的には常に埋め込みとして振る舞います。すなわち、多様体 M の任意の点 x に対して、その点の近傍 U ⊂ M を適切に小さく取れば、U 上での写像 f の制限 f|_U は N への埋め込みとなります。この性質は、はめ込みの定義として採用されることもあります。
ただし、M がコンパクト多様体である場合には、単射なはめ込みは常に埋め込みとなりますが、M がコンパクトでない場合は、単射であっても埋め込みにならない例が存在します。
正則ホモトピー
2つのはめ込み f, g : M → N の間の正則ホモトピーとは、可微分写像 H : M × [0, 1] → N であり、任意の時刻 t ∈ [0, 1] を固定したときに得られる写像 H_t : M → N （H_t(x) = H(x, t)）が常にはめ込みとなるものを指します。これは、はめ込みという性質を保ったまま、あるはめ込みから別のはめ込みへと連続的に変形するパスを提供します。
分類理論
はめ込みに関する体系的な研究は、1940年代にハスラー・ホイットニーによって始められました。彼は、多様体の次元に関する特定の条件下（例えば 2 dim M < dim N + 1）で、任意のマッピングがはめ込みに正則ホモトピックとなることや、さらに厳しい条件下（2 dim M < dim N）では埋め込みに正則ホモトピックとなることを証明しました。これらはホイットニーのはめ込み定理および埋め込み定理として知られています。
スティーブン・スメールは、多様体からユークリッド空間 Rn へのはめ込みの正則ホモトピー類が、特定のホモトピー群によって分類できることを示しました。彼の研究の中でも特に有名な成果の一つに、球体の裏返し（sphere eversion）があります。これは、球面を自己交差を許すはめ込みの変形操作のみによって、裏表をひっくり返すことができるという直感に反する事実を示したものです。
その後、モリス・ハーシュはスメールの結果を一般化し、多様体 N 内への多様体 M のはめ込みの正則ホモトピー類をホモトピー論的に記述しました。これらのSmale-Hirschの理論は、後にマイケル・グロモフによってホモトピー原理というさらに一般的な枠組みの中に位置づけられました。
具体例と性質
クラインの壺や、向き付け不可能な閉曲面（例えば実射影平面）は、3次元ユークリッド空間にはめ込むことができますが、自分自身と交わることなく埋め込むことはできません。
k 弁のバラは、円周を平面へはめ込んだ際に一点でk個の「花びら」が集まる図形として実現されます。
円周の平面へのはめ込みに関しては、ホイットニー・グラウスタインの定理により、正則ホモトピー類が回転数（winding number）によって完全に分類されます。この回転数は、曲線の全曲率を2πで割った値に等しく、代数的な意味での二重点の個数としても解釈できます。
前述の球体の裏返しは、球面のはめ込みの正則ホモトピーによる興味深い例です。
ボーイ曲面は、実射影平面の3次元空間へのはめ込みであり、球面の2対1のはめ込みとしても見ることができます。
はめ込まれた平面曲線は、自己交差を持ちうる平面上の滑らかな曲線です。これらは回転数という不変量によって正則ホモトピー類が決定されます。また、これらの交点を持ち上げることで、結び目理論における結び目図式を得ることができ、この分野の中心的な研究対象の一つとなっています。
一般化：ホモトピー原理
はめ込みであるという条件（微分の階数が一定であること）は、関数の偏微分に関する条件として記述できます。このような条件は偏微分関係式（Partial Differential Relation, PDR）の一種とみなすことができます。
Smale-Hirschによるはめ込み理論は、特定のPDRがホモトピー論的な問題に帰着するという結果を示しました。ホモトピー原理は、このような現象、すなわちPDRがいつ、どのようにホモトピー論によって解決されるかという問いに対し、一般的な条件や理由を与える理論として、はめ込み理論をその重要な適用例の一つとして含んでいます。
はめ込み理論は、位相幾何学や微分幾何学において、多様体の構造やその埋め込み可能性・はめ込み可能性を探る上で基本的な役割を果たしています。
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