アローの不可能性定理

アローの不可能性定理

アローの不可能性定理は、経済学者ケネス・アローによって示された、社会的選択理論における根本的な定理です。この定理は、複数の公正さの基準を同時に満たすような投票制度は存在しないという、一見すると衝撃的な結論を導き出します。具体的には、以下の5つの基準をすべて満たす選好順位選挙制度は設計できないことを示しています。

1. 定義域の非限定性 (普遍性): 人々の選好順序はどのようなものであっても良い。
2. パレート効率性 (満場一致性): 全ての投票者が選択肢Xを選択肢Yよりも好むとき、集団全体もまたXをYよりも好む。
3. 非独裁性: 独裁者が存在しない。つまり、いかなる個人も集団全体の意志を1人で決定できない。
4. 無関係な選択肢からの独立性 (IIA): 2つの選択肢に関する社会全体の選好順序は、第3の選択肢から影響を受けない。
5. 推移性: 社会全体の決定は、堂々巡りの矛盾にならない (a > b, b > c ならば必ず a > c)。

これらの基準は、一見するとどれも妥当なものに見えます。しかし、アローの定理は、これらの基準をすべて満たすような投票制度は存在しないことを数学的に証明しました。

定理の概要

アローの定理は、個人の選好を社会全体の選好に集約する「社会的厚生関数」と呼ばれる関数に着目します。この関数は、個人の選好順位の組み合わせ（選好プロファイル）を独立変数とし、社会全体の選好順位を従属変数とします。

定理は、この社会的厚生関数が以下の4つの条件を満たすことが、公正な選挙制度にとって不可欠であるとします。

非独裁性: 社会的選好関数は、複数の投票者の意志を反映しなければならない。単に誰か1人の意志を模倣するだけに留まることはできない。
定義域の非限定性 (普遍性): 個人の選好を組み合わせた如何なる集合に対しても、社会的選好関数は社会的選択の一意で完備な順序付けを出力せねばならない。
無関係な選択肢からの独立性（IIA）: 選択肢 x と y にかかわる社会的選好が、それら2つの選択肢に関する個人の選好のみで決まること。
パレート効率性 (全会一致性): 社会の全員の選好が「x は y よりも望ましい」と一致している場合、社会的選好も「x は y よりも望ましい」となること。

アローの定理は、2人以上の投票者と3つ以上の選択肢があるとき、上記の条件をすべて満たす社会厚生関数は存在しないことを示しています。

定理の解釈と影響

アローの定理は、しばしば「公正な選挙制度は存在しない」といった形で単純化されて理解されます。しかし、これは正確な解釈ではありません。アローの定理が実際に示しているのは、特定の条件（上記の4つの条件）をすべて満たすような、完璧な投票制度は存在しないということです。

この定理は、現実世界の様々な制度が常にうまく機能するとは限らないことを示唆しています。アロー自身も、「大半の制度は常にうまくいかない訳ではない。私が証明したのは、全てがうまく行かないことが時にはあると言うことだ」と述べています。

アローの定理は、社会選択理論の分野に大きな影響を与え、その後の研究の発展を促しました。多くの研究者が、アローの定理の条件を緩和したり、異なるアプローチを試みたりすることで、この定理の結論から逃れる方法を模索しています。

さらなる探求

アローの不可能性定理から逃れるための探求は、社会選択理論において重要なテーマです。以下に、そのいくつかのアプローチを紹介します。

条件の緩和: 無関係な選択肢からの独立性（IIA）の条件を弱めることが提案されています。IIAは、選択肢間の関係のみに基づいて社会的な選好を決定するため、実際には強すぎる制約となる場合があります。
選択肢の制限: 選択肢の数を2つに制限すると、単純多数決が望ましい性質を満たすことがメイの定理によって示されています。しかし、現実の社会では3つ以上の選択肢が存在することが多いため、このアプローチは限定的です。
* 効用概念の拡張: アローの定理では、個人の選好は順序効用で表されます。基数効用を導入することで、個人の選好の強度を考慮し、個人間の効用比較が可能になります。これにより、功利主義的なアプローチやロールズ的なアプローチが正当化される場合があります。

アローの不可能性定理は、社会的な意思決定の難しさを示すと同時に、より良い制度を設計するための探求を促す、重要な定理と言えるでしょう。

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