アーエイチ・ビング

R.H.ビング

R.H.ビング（Rudolph H. Bing, 1914年10月20日 - 1986年4月28日）は、アメリカの数学者であり、特にトポロジー分野で著名な業績を上げました。テキサス州オークウッドで生まれ、テキサス州立教育大学を卒業後、高校教師を経てテキサス大学でロバート・ムーアに師事しました。

人物

ビングは、平面網の研究、クラインの球面特徴付け問題の解決によってその名を広く知られるようになりました。また、擬弧、位相空間、デーン手術、アレクサンダーの角付き球、ねじれ立方体、ドッグボーン空間、2つの部屋のある家など、トポロジーにおける様々な概念や対象に取り組み、重要な貢献をしました。特に、ポアンカレ予想に対しては、完全な解決には至らなかったものの、特定の条件を付加した上での部分的な解決を導き出し、また、性質P予想という重要な予想を提唱しました。

大学教員としては、ウィスコンシン大学マディソン校とテキサス大学オースティン校で教鞭を執り、後進の育成にも力を注ぎました。

業績

ビングの名が最初に注目を浴びたのは、博士号取得からわずか1ヶ月後に発表されたクラインの球面特徴付け問題の証明でした。この問題は、多様体が2次元球面であるための条件を示すもので、ビングはこの証明によってトポロジー界に大きな影響を与えました。当時プリンストン大学の教授であったソロモン・レフシェッツから職の誘いを受けましたが、レフシェッツはトポロジーの将来性を悲観視しており、ビングに研究分野の変更を勧めたため、この誘いを辞退し、ウィスコンシン大学に25年間在籍しました。

その後も、ビングは擬弧の研究（1948年）や、距離化可能位相空間の条件を明らかにしたビング-長田-スミルノフの距離化定理（1951年）など、数々の重要な業績を上げました。1952年には、2つのアレクサンダーの角付き球を表面で張り合わせたものが3次元球面と同相であることを証明しました。これは当時、正しいと信じられてはいたものの証明されていなかったもので、この証明は大きな影響を与えました。

1959年には、任意の3次元多様体が四面体による多様体に分割（三角形分割）できることを証明しました。この定理は、2次元多様体における三角形分割の概念を3次元に拡張するもので、3次元多様体を滑らかで微分可能な多様体に変換できることを示唆しており、微分トポロジーの発展に貢献しました。ビングが生涯をかけて取り組んだポアンカレ予想は、後に微分幾何学を用いてグリゴリー・ペレルマンによって解決されることになりますが、その前提として、3次元多様体が微分可能であることが必要でした。

その他にも、可縮であるにも関わらず縮約可能ではない多様体「ビングの2つの部屋のある家」を初めて発見しました。これは、可縮多様体と縮約可能多様体の違いを示す重要な例であり、クリストファー・ジーマンによる「道化の帽子」とともに、ジーマン予想へと発展する基礎となりました。

ポアンカレ予想への挑戦と性質P予想

当時、未解決の難問であったポアンカレ予想に、ビングは情熱を持って取り組みました。1958年には、ポアンカレ予想に条件を付加した上で証明を試みました。ポアンカレ予想とは、「3次元多様体において、全てのループが一点に縮められるならば、その多様体は3次元球面と同相である」というものですが、ビングは、全てのループが縮められるループとアンビエント同値であるという条件を加えました。

ビングは、ポアンカレ予想が必ずしも正しいとは考えておらず、証明と反例の探求を交互に繰り返していました。その中で、結び目のある性質に着目し、性質Pと名付けた概念を導入しました。性質Pを持つ結び目で3次元球面にデーン手術を施すと、単連結な多様体が生成されます。もし全ての性質Pを持つ結び目が自明であるならば、ねじれを持つ多様体を除いて、ポアンカレ予想は正しいことになります。この予想は性質P予想と呼ばれ、多くの数学者によって研究されました。

性質P予想は、2005年にピーター・クロンハイマーとトマス・ムロフカによって証明されましたが、その2年前にペレルマンによってポアンカレ予想が解決されていたため、その意義は十分に評価されなかったという側面もあります。

ビングは、自らのことを「ビングはポアンカレ予想にアタックをかけた････が、部分的な解決にしか達せなかった」と3人称で語ったことがあります。

名前

ビングの父は、息子にルパート・ヘンリー・ジュニアという名前を付けるつもりでしたが、母親がイギリス的すぎると考えたため、略してR.H.と名付けられました。このアルファベット2文字の名前は、様々な逸話を生み出しました。その一つとして、ウィスコンシン大学で教授に就任した際、名札にどう書くべきか尋ねられた際、「R only H only Bing.」と答えたところ、ドアの名札には「Ronly Honly Bing」と書かれていたというエピソードがあります。

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