アーベル群のランク

アーベル群のランクについて

数学におけるアーベル群 A のランクは、群の構造や特性を理解する上で極めて重要な概念の一つです。具体的には、アーベル群のランクとは、極大線型独立部分集合の濃度によって定義され、群内における最大の自由アーベル群のサイズを示します。これにより、アーベル群 A の特性を明らかにする手助けとなるのです。

アーベル群 A が捩れなしである場合、そのランクは、A をベクトル空間として捉え、それを有理数体上で埋め込む際の次元にも関連しています。Finite generated アーベル群においては、このランクは強い不変量であり、群の同型を通じて捩れ部分群との関係により一意に決まります。特に、ランクが1の捩れなしアーベル群は完全に分類されていますが、より高いランクの場合は、理論の複雑さが増してきます。

ランクの定義と性質

アーベル群における部分集合 {aα} が線型独立であるとは、これらの元の線型結合が零であるためにはすべての係数がゼロでなければならないという特性を持つことを意味します。この性質によって、アーベル群 A のランクは、任意の2つの極大線型独立集合が同じ濃度を持つことから、不変量としてよく認知されます。

アーベル群のランクは、線形代数におけるベクトル空間の次元と類似していますが、大きな違いは捩れの存在です。捩れ元とは、有限の位数を持つ群の元であり、これらの元の集合は捩れ部分群と呼ばれ、T(A) で表記されます。また、群が捩れなしであるとき、それは非自明な捩れ元を持たないとされます。アーベル群の剰余群 A/T(A) は、A の唯一の極大捩れなし商であり、ランクは元のアーベル群のランクと一致します。

アーベル群のランクを定義する際の特徴的な性質として、AのランクはAの有理数体に関するQ-ベクトル空間A⊗Qの次元と等しいことが挙げられます。さらに、アーベル群の短完全列が与えられたとき、ランクは加法的であり、短完全列が持つ各群のランクの関係も成り立ちます。

高いランクのアーベル群

アーベル群のランクが1より大きい場合、興味深い特例が存在します。この場合、高ランクのアーベル群は、捩れなしアーベル群としての属性を持ち、直既約な部分群の和としも表現できることが示されています。しかし、ランクが1を超える捩れなしアーベル群に関しては、構造が単純には理解しきれない場合も多いです。たとえば、ある濃度 d に対して、直既約な部分群のペアとしての和に還元できないランク d の捩れなしアーベル群の存在が証明されています。

また、任意の整数 n ≥ 3 に対して、特定の条件を満たすランク 2n − 2 の捩れなしアーベル群も存在し、群の直既約成分の数も不確定であることが示されています。

まとめ

アーベル群のランクという概念は、整域上の任意の加群に適用できるものであり、群の同型やその構造を理解する上で重要な役割を果たします。特に、ランクが1のケースにおいては、分類が行いやすい一方で、ランクが2以上の場合は、逆に複雑さが増す傾向にあります。このように、アーベル群のランクに関する理論は、数学の様々な分野において応用され続けています。

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