ウェイト (表現論)

表現論におけるウェイトの概念

表現論は、数学の中でも特に代数や群論で重要な役割を果たす分野として知られています。この中で、体F上の代数Aにおけるウェイトとは、AからFへと写像する代数準同型、またはAの一次元表現を指します。このウェイトの概念は、群の乗法的指標に関連し、リー環や代数群、リー群の表現への応用によってその重要性が際立ちます。

ウェイトの基本概念

ウェイトは、可換な行列の集合が同時に対角化されるという性質に似たものとして捉えられます。特に、有限次元のベクトル空間における可換な半単純線型変換の集合Sに対して、適切な基底を選ぶことで固有ベクトルを得ることができます。これにより、自己準同型の集合によって生成される部分代数上の線型汎関数が定義され、健全性の確保がなされます。

この一般的な固有値の構造がウェイトの原型とされます。また、ウェイトは群論の乗法的指標の考え方とも深い関連があります。群Gの元に対して定義される準同型の性質を通じて、各元の固有値に基づく同時固有空間の存在がウェイトを決定します。この関係は、代数Aが任意のベクトル空間Vに作用する場合にも拡張され、各元がその固有値に送られる様子が示されます。

リー環におけるウェイト

リー環の場合、ウェイトは線型写像で定義され、すべての要素に対して固有値が0となる性質を持っています。これにより、ウェイトは可換リー環の興味深い性質の一部となり、特に可換な線型変換の空間において、その簡素な概念と関連付けられます。

群Gがリー群や代数群である場合、乗法的指標は微分によってリー環上のウェイトに変換され、より具体的な解析が可能です。特に、成分に分解されたリー環の表現において、各ウェイトの空間が持つ重要な役割が強調されます。

表現のウェイト空間

ウェイト空間は、特定の関係を持つベクトルの集まりを形成します。表現Vが体F上のリー環gの表現であり、特定のウェイトλに対して定義される空間は、固有ベクトルである要素の集まりとなります。ウェイトによって定義されたこの空間は、表現に対して意味を持ち、その活動が定義されます。ウェイト空間の非零元はウェイトベクトルと呼ばれ、これが一定の直和を形成することで、ウェイト加群としての性質が現れます。

半単純リー環のケース

半単純なリー環では、すべてのウェイトが自明となりますが、Vに対してその制限がカルタン部分環に対する表現として取り扱われます。このような場合、用語の扱いに注意が必要で、特に他のウェイトとの関係において誤解を生む要因となります。これは、リー群や代数群の表現に対しても適用される重要な側面です。

ウェイトの特性

ウェイトには、整ウェイトや優ウェイト、最高ウェイト、最低ウェイトといった様々な属性があります。整ウェイトは、特定の条件下で定義される整数結合を持つことによって特徴づけられ、優ウェイトは非負の条件を満たす場合に当てはまります。最高ウェイトや最低ウェイトはそれぞれのウェイトの序に基づいて定義され、加群や表現において重要な役割を果たします。特に、最高ウェイト加群はその性質上、有限次元既約表現の分類において重要視されます。

このように、表現論におけるウェイトは単なる数学的関数ではなく、系統的に構造化された概念であり、数学の理解を深めるための基盤となっています。

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