カルタン形式 (物理学)

四脚場と四つ組の理論

理論物理学において、特に四次元多様体に適用される四脚場（Vierbein）や四つ組（tetrad）の概念が重要視されています。これらの理論は、さまざまな現象を記述するための強力な枠組みを提供します。四次元多様体上では、カルタン接続がこの理論の核となっています。特筆すべきは、計量の符号が変化してもこの理論が適用可能である点です。

四次元でない場合は、三つ組（triad）、五つ組（pentad）、二脚場（Zweibein）、五脚場（Fünfbein）、十一脚場（Elfbein）などの用語が用いられ、一般次元については多脚場（Vielbein）という言葉が使われます。これらの用語は、それぞれの次元に対して特有の意味を持っています。また、基底依存の添字記法については、四つ組形式が参照されます。

基底の構成要素

この理論を構成する基本的要素として、n次元可微分多様体Mを考えます。ここで自然数pとqは、p + q = nの関係を満たします。M上のSO(p, q)主束Bが定義され、それに付随するSO(p, q)-ベクトル束Vはシステムの主な役割を担います。このベクトル束は、計量テンソルと呼ばれる非縮退二次形式ηを含みます。

カルタン形式の基本要素は、M上のベクトル束から接束TMへの可逆な線形写像eです。ここで、可逆性が課されない場合もあります。特に、Bが自明な束の場合、Vは直交断面を基底とし、その基底に対して計量テンソルの定数行列が定義されます。

局所座標の選択により、接束の局所的な表現も変わります。これにより、接束における非座標基底が明確に定義されることになります。

一般相対性理論における応用

一般相対性理論では、時空の幾何学を四つ組場を用いて記述することができます。計量テンソルgαβは、接空間における内積を直接定義するのに使用されます。四つ組eiαは、接空間からミンコフスキー空間への内積を保存する線形写像として機能します。このような処理により、接空間上の二つのベクトルの内積がミンコフスキー空間において簡単に評価できます。

さらに、四つ組場を用いて計量テンソル場を定義することも可能です。具体的には、計量gαβが四つ組場に基づいて表現されることで、一般相対性理論の枠組み内での計算が容易になります。

構成法と接続の定義

M上のリーマン計量は、ベクトル束に対する引き戻しによって定義されます。これにより、接続形式の計算が行われ、特定の条件を満たす接続形式が一意に定義されます。このような接続は、物理的な解釈において重要な役割を果たします。

パラティーニ作用とスピノル場の関与

四つ組形式に基づく一般相対性理論において、作用は四脚場eと接続形式ωを伴い、随伴場強度Ωを考慮する形で定義されます。この取り組みは、一般相対性理論の基盤を強化するだけでなく、スピノル場が存在する場合にはさらに深い影響を与えます。

結論

このように、四脚場と四つ組の理論は、理論物理学において極めて重要であり、接続定義や一般相対性理論との関連性を通じて、物理的現象の説明に寄与しています。これにより、リーマン幾何学の視点からも新たな洞察が得られるでしょう。

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