ガロワコホモロジー

ガロワコホモロジーの概要

数学におけるガロワコホモロジーは、ガロワ群と関連するアーベル群のコホモロジーを研究する分野であり、特に体の拡大に関連しています。この理論の核心は、ガロワ群がある体の拡大においてどのようにアーベル群に作用するかという点にあります。ガロワコホモロジーを通じて、ガロワ不変元と呼ばれる対象が待つ問題の理解が深まりますが、これは完全な関手にはならない理由を示しています。

歴史的背景

ガロワコホモロジーの理論は、主に1950年頃に代数的整数論の中で発展しました。この時期、イデアル類群のガロワコホモロジーが L-関数と関連しながら同定され、類体論という形で理論が明確化されました。興味深い点は、この理論がガロワ群がアーベル群であるという仮定を必要としないところです。これにより、非アーベルコホモロジーの概念が新たに検討され、構造理論として抽象的に定式化されました。

1960年代には二つの重要な進展がありました。一つは、ガロワコホモロジーがエタールコホモロジーの基本的なレイヤーとしての役割を果たすようになったことです。この理論は、0次元スキームに適用される際の重要な側面を持っています。二つ目は、非可換類体論がラングランズの哲学の一部として発展し始めたことです。

さらに、ガロワコホモロジーと関連する初期の理論は、数年前から代数的整数論や楕円曲線の数論に既に存在していました。特に、正規基底定理は、ガロワ群による加法群の一次コホモロジー群が消失することを示しています。この結果は、一般的な体拡大にも関係し、リヒャルト・デデキントによって以前から知られていました。

重要な理論と結果

他にも、乗法群に関連する定理はヒルベルトの定理90として知られ、以前から広く認識されていました。クンマー理論はこの研究の初期の発展を示すものであり、冪写像に基づく同型の記述を提供します。特に関心を引くのは、非巡回群の1-コサイクルの乗法的場合に関して、エミー・ネーターの名を冠した方程式が解決可能である点です。

さらに、ガロワ理論におけるエミール・アルティンの取り扱いは、この概念の重要な例を示しており、その根本的な特性は1920年代には既に明らかになっていたと考えられています。加えて、乗法群の2-コサイクルに関連する結果はブラウアー群に関するもので、1930年代の代数学者には広く認知されていました。これらの理論は、楕円曲線に関連する討論の中にも潜在的に存在しており、その中にはフェルマーの無限降下法に関する議論も含まれています。

数論の視点から見ると、ガロワコホモロジーは特に局所大域原理の制御と関連しています。この原理は、ハッセのノルム定理などの類体論の結果によって定式化され、楕円曲線においてはセルマー群におけるテイト・シャファレヴィッチ群の定義に寄与しています。この群は局所大域原理の重要な障害となる可能性があります。バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想においても、この理論は重要であり、特定の条件下で群が有限であるという状況も思考しなくてはなりません。

まとめ

ガロワコホモロジーは、数学の様々な分野に多大な影響を与えています。特に、テイト・ポワトゥ双対の結果や、射有限群における近代的な解釈は、この理論の深化に寄与しています。数理論理の発展を支える重要な一部分として、ガロワコホモロジーが持つ多様な表現と応用は今後もさらに広がりを見せることでしょう。

もう一度検索