ブラウアー群

数学におけるブラウアー群 Br(K) は、特定の種類の代数構造、具体的には体 K 上の「中心的単純環」の分類を行うための概念です。これはアーベル群（可換な群）をなし、その要素は中心的単純環をある同値関係でまとめた「ブラウアー類」と呼ばれるものです。群の演算は、多元環のテンソル積によって自然に定まります。この群は、体上の斜体を理解し、分類する研究の中で生まれ、代数学者リチャード・ブラウアーの名を冠しています。

さらに、ブラウアー群の概念は、体だけでなく、より一般的な数学的対象であるスキームに対しても拡張されており、その場合は「東屋代数」という構造を用いて定義されます。

定義と構成

体 K 上の中心的単純環とは、K 上有限次元の結合多元環であり、それ自身が環として単純（自明でない両側イデアルを持たない）で、その中心がちょうど体 K に一致するものを指します。

全ての中心的単純環が斜体（非可換体）であるわけではありませんが、どのような中心的単純環も、ある斜体上の全行列環として表すことができます。例えば、実数体 R 上の中心的単純環としては、R自身、四元数体 H、そしてそれらの上の全行列環 M(n, R) や M(n, H) などがあります。複素数体 C はR上中心的ではありません（中心がCなので）。

二つの K 上の中心的単純環 A と B が与えられたとき、それらのテンソル積 A ⊗K B もまた K 上中心的になります。この事実は、代数閉包上で中心的な単純環が全行列環と同型になる性質（分解するという性質）を用いると理解しやすくなります。

ブラウアー群を構成するために、中心的単純環の「森田同値類」を考えます。これは、行列のサイズを無視して、対応する斜体Dが同じであれば同値とみなす関係です。つまり、M(m, D) と M(n, D) を同じクラスに属すると考えます。この同値関係に関するクラス全体は、テンソル積を演算としてモノイドを形成します。

さらに、このモノイドに群構造を与えることができます。ブラウアー群におけるクラス [A] の逆元は、A の「逆転多元環」Aop のクラス [Aop] によって与えられます。これは、A ⊗K Aop が K 上の全行列環と同型になるという事実に基づいています。

例

特定の体 K に対しては、そのブラウアー群 Br(K) が自明な群（単位元のみからなる群）となる場合があります。これは、その体上で有限次元の中心的な斜体が K 自身と同型なものしかないことを意味します。例えば、代数閉体（複素数体 C など）、有限体（ウェダーバーンの小定理による）、または代数閉体上の代数曲線の関数体（曾の定理による）などがこれに該当します。

一方、実数体 R のブラウアー群 Br(R) は、位数 2 の巡回群であることが知られています。これは、R 上有限次元の中心的な斜体が、R 自身と同型なものと四元数体 H のちょうど二つしかないことに対応します。実際、H ⊗R H は M(4, R) と同型であり、H の属するブラウアー類は演算に関して二乗すると単位元（M(n, R) の類の代表）になるため、位数 2 の要素となります。

類体論との関連

ブラウアー群は、現代の類体論において非常に重要な役割を担っています。局所類体論によれば、局所体 k に対して、そのブラウアー群 Br(k) から Q/Z への自然な同型写像が存在します（これを局所不変量やハッセの不変量と呼びます）。例えば、局所体である実数体 R のブラウアー群 Br(R) は、この同型写像によって 1/2Z/Z と見なされます。ブラウアー群の元が持つ「位数」は、体上の特定の種類の代数（巡回多元体）の構造と関連しています。

大域体 K の場合も同様の記述が存在します。大域体 K の素点（付値）v に対して、体の局所化 Kv 上のブラウアー群 Br(Kv) が考えられ、Br(K) から各 Br(Kv) への準同型が定まります。アルバート–ブラウアー–ハッセ–ネーターの定理を含む大域類体論の深い結果により、ブラウアー群 Br(K) は、各素点における局所ブラウアー群の直和と Q/Z を結ぶ以下の完全列に組み込まれます。

$$0\to \operatorname{Br}(K)\to \bigoplus_{v} \operatorname{Br}(K_{v})\to \mathbb{Q/Z}\to 0$$

この完全列は、大域体上のブラウアー群が、その局所化された体上のブラウアー群によってどのように決定されるかを示しており、代数と整数論の深い結びつきを表しています。

性質と一般化

ブラウアー群の重要な性質の一つに、任意の体のブラウアー群が常にねじれ群である、というものがあります。これは、群の任意の元が有限の位数を待つことを意味します。

また、ブラウアー群はガロワコホモロジーを用いて記述することができます。具体的には、体 K の分離閉包 Ksep を用いると、ブラウアー群 Br(K) はガロワコホモロジー群 H²(Gal(Ksep/K), (Ksep)×) と同型になります。これは、ブラウアー群の研究がガロワ理論やコホモロジー理論といった現代代数学の他の分野と密接に関わっていることを示しています。

ブラウアー群の概念は、可換環やさらに一般的なスキームへと拡張されています。これらの一般化されたブラウアー群の研究は、代数幾何学や環論における様々な問題を扱う上で重要なツールとなっています。

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