クライン-ゴルドン方程式

クライン–ゴルドン方程式

クライン–ゴルドン方程式は、スピン0の相対論的自由粒子を記述するための場の方程式であり、この方程式はスウェーデンの物理学者オスカル・クラインとドイツの物理学者ヴァルター・ゴルドンの名前に因んで名付けられています。この方程式は、特に量子論における相対論的波動方程式の一つとして重要な位置を占めています。

概要

この方程式では、質量がmの自由粒子を表す場をϕ(x, t)とし、クライン–ゴルドン方程式は以下のように表されます：

$$
egin{align*}
iggl[rac{1}{c^{2}} rac{rac{ ext{d}^{2}}{ ext{d}t^{2}}}{igg|} -
abla^{2} + igg( rac{mc}{ar{h}} igg)^{2}iggr] ext{ϕ}(x, t) = 0
iggr[iggl]
$$

ここで、∇²はラプラス作用素を示し、cは光の速度、ℏはプランク定数を2πで割った量です。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対してその形を保つ相対論的に不変な方程式です。

また、ダランベール演算子と新しい量μを導入すると、この方程式は次のように簡略化されます：

$$
(oxplus + oldsymbol{
u}^{2}) ext{ϕ}(x, t) = 0
$$

ここで、$oldsymbol{
u} = rac{mc}{ar{h}}$ です。このようにして、シンプルな形でクライン–ゴルドン方程式が表現されることがあります。自然単位系を使うと、しばしばc=1、ℏ=1と設定されることが一般的です。

歴史的背景

量子力学の形成初期に、エルヴィン・シュレーディンガーによって相対論的波動方程式が考察されましたが、最初に成功したのは非相対論的なシュレーディンガー方程式でした。その後、クライン–ゴルドン方程式はシュレーディンガーのアイディアを基に、オスカル・クラインとヴァルター・ゴルドンによって提案されましたが、最初は波動関数として解釈されることが多く、いくつかの問題に直面しました。特に、時間に関する二階微分を含むため、確率解釈に困難を伴い、負のエネルギー解の出現により粒子の安定性に疑問が呈されることとなりました。

そのため、一時はこの方程式が理論から除外されることもありましたが、1928年にポール・ディラックがディラック方程式を提案する際に、晴れて新たな基準が与えられました。ディラック方程式はスピン1/2の粒子を表すものであり、結果的に相対論的量子力学の基礎として受け入れられるようになりました。

しかし、1934年にウォルフガング・パウリとヴィクター・ワイスコップによって、クライン–ゴルドン方程式もスピン0のボース粒子の理論において正しい方程式であることが示されました。以降、この方程式のスカラー場の理論は、パイ中間子の研究発展にも寄与し、今なお重要な役割を果たしています。

方程式の導出

クライン–ゴルドン方程式は、相対論的なエネルギーと運動量の関係式から導かれます。この関係式は以下の通りです：

$$
ext{ε}^2 = m^2c^4 + c^2p^2
$$

ここで、粒子のエネルギーε、運動量p、質量mを考慮します。非相対論的な量子力学を基にした置換を行い、次に演算子形式で表現します。最終的にクライン–ゴルドン方程式に至る導出が行われます。

この方程式は、物理の基礎方程式としての役割を果たし、場の量に対するレンズの法則を遵守することで、多くの物理現象を理解する手助けとなるのです。

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