クラウジウス–デュエムの不等式

クラウジウス–デュエムの不等式

クラウジウス–デュエムの不等式（英: Clausius–Duhem inequality）は、連続体力学において熱力学第二法則を表現する不等式です。この不等式は、特に材料の構成式が熱力学的に許容可能であるかどうかを判断する上で重要な役割を果たします。また、エネルギーの散逸が関与する自然過程の不可逆性を記述する上でも不可欠です。この式の名前は、ドイツの物理学者ルドルフ・クラウジウスとフランスの物理学者ピエール・デュエムに由来します。

比エントロピーの観点からの表現

クラウジウス–デュエムの不等式は、比エントロピーの観点から積分形式と微分形式で表現できます。

積分形式

積分形式では、以下のようになります。

$${\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}$$

ここで、

t：時間
Ω：体積
∂Ω：体の表面
ρ：質量密度
η：比エントロピー（単位質量あたりのエントロピー）
un：∂Ωの法線速度
v：Ω内部の粒子の速度
n：表面の単位法線ベクトル
q：熱流ベクトル
s：単位質量あたりのエネルギー源
T：絶対温度

これらの変数はすべて、質点xと時間tに依存します。

微分形式

微分形式では、クラウジウス–デュエムの不等式は以下のように表されます。

$$\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {
abla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}$$

ここで、

η̇: ηの時間微分
∇⋅(a): ベクトルaの発散

比内部エネルギーの観点からの表現

クラウジウス–デュエムの不等式は、比内部エネルギーの観点からも記述できます。

$$ \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {
abla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {
abla }}T}{T}}$$

ここで、

ė：比内部エネルギーe（単位質量あたりの内部エネルギー）の時間微分
σ：コーシー応力
∇v：速度勾配

この不等式は、エネルギー保存則と運動量保存則をクラウジウス–デュエムの不等式に組み込んだものです。

散逸量

量

$$\mathcal{D}:=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {
abla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {
abla }}T}{T}}\geq 0$$

は、単位体積あたりの内部エントロピー生成速度と絶対温度の積として定義される散逸量です。このため、クラウジウス–デュエムの不等式は散逸不等式とも呼ばれます。実際の材料では、散逸は常にゼロより大きくなります。

関連事項

エントロピー
熱力学第二法則

外部リンク

Memories of Clifford Truesdell by Bernard D. Coleman, Journal of Elasticity, 2003.
Thoughts on Thermomechanics by ウォルター・ノル, 2008.

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