クローニッヒ・ペニーのモデル

クローニッヒ・ペニーモデル：結晶内電子の挙動解明

クローニッヒ・ペニーモデルは、結晶格子内を動く電子の振る舞いを簡略化して記述する量子力学的なモデルです。1931年にラルフ・クローニッヒとウィリアム・ペニーによって提案され、バンド理論の基礎を理解する上で重要な役割を果たしています。本モデルは、一次元空間において周期的に配置されたポテンシャル障壁によって電子の運動を制限する様子を表現しています。特に、障壁をデルタ関数で近似したモデルは、原子によるポテンシャルの単純化された表現として広く用いられています。

ポテンシャルとブロッホの定理

クローニッヒ・ペニーモデルでは、周期的なポテンシャルが用いられます。これは、結晶格子における原子の周期的な配置を反映しています。ポテンシャルは、原子間距離を`a`、障壁の幅を`b`、障壁の高さ`V0`とすると、次のように表現できます。

`V(x) = 0` (`na ≤ x < (n+1)a - b`)

`V(x) = V0` (`(n+1)a - b ≤ x < (n+1)a`)

ここで`n`は任意の整数です。

この周期的なポテンシャル下では、ブロッホの定理が適用できます。ブロッホの定理は、周期ポテンシャル中の電子の波動関数が、平面波と周期関数の積で表されることを示しています。波動関数は次式で表されます。

ψ(x) = e^(ikx)u(x)

ここで、`k`は波数（結晶波数）、`u(x)`は周期`a`を持つ周期関数です。`k`はフロケ指数と呼ばれ、波動関数の空間的な振る舞いを決定します。

系の境界条件として、ボルン・フォン・カルマン境界条件を適用します。これは、結晶の両端を繋ぎ合わせる境界条件であり、波動関数の周期性を保証します。この条件下で、波数は量子化され、以下のようになります。

k = (2π/L)n (n = 0, ±1, ±2, ..., ±N/2)

ここで、`L`は結晶の長さ、`N`は単位胞の数です。

シュレーディンガー方程式の解法

ブロッホの定理を用いると、シュレーディンガー方程式を解く領域を1周期に制限できます。1周期内には、ポテンシャルが0の領域と`V0`の領域があり、それぞれの領域でシュレーディンガー方程式を独立に解きます。

ポテンシャルが0の領域(`0 < x < a - b`)におけるシュレーディンガー方程式の解は、

ψ(x) = Ae^(iαx) + A'e^(-iαx)

ポテンシャルが`V0`の領域(`-b < x < 0`)におけるシュレーディンガー方程式の解は、

ψ(x) = Be^(iβx) + B'e^(-iβx)

ここで、αとβはエネルギー`E`に依存する定数です。

これらの解を接続条件（波動関数とその一次微分が各領域の境界で連続である条件）とブロッホの定理を用いて接続することで、エネルギー`E`と波数`k`の関係式（分散関係）が得られます。

バンドギャップの形成

分散関係式から、エネルギー`E`の値によっては、シュレーディンガー方程式の解が存在しない領域が現れます。この領域をバンドギャップと呼び、電子はこれらのエネルギー状態をとることができません。バンドギャップは、周期ポテンシャルによって生じる電子の波動関数の干渉効果によって形成されます。

特にデルタ関数型のポテンシャル（`b → 0`, `V0 → ∞`, `V0b = 一定`）では、分散関係は次のように単純化されます。

cos(ka) = cos(αa) - P(sin(αa)/αa)

ここで、Pはポテンシャルの強さを表す定数です。この式から、特定の`k`値において、`cos(ka)`が-1から1の範囲を超える場合があり、その場合、対応するエネルギー`E`は存在しません。これがバンドギャップの起源です。

バンドギャップ発生のメカニズム：別解

周期ポテンシャル中の電子状態は、ブロッホ波の重ね合わせで記述できます。

ψk(x) = Σm cm * exp(i(k - 2πm/a)x)

ここで、cmはフーリエ係数、mは整数です。

k = nπ/a付近では、異なるmの項が干渉し、特定のエネルギー状態が禁止されます。これは、波動関数の定常状態が、ポテンシャルの周期性との共鳴現象によって影響を受けるためです。

具体的にデルタ関数型のポテンシャルを用いた場合、k = nπ/aでは波動関数は節を持ち、ポテンシャルの影響を受けずに自由に伝播できるモードと、ポテンシャルの影響を受けてエネルギーが高いモードの2つが存在します。このエネルギーの差がバンドギャップとなります。

クローニッヒ・ペニーモデル：別の解法

デルタ関数型ポテンシャルを用いた別解も存在し、フーリエ変換を用いた手法により、分散関係を求めることができます。この手法では、ポテンシャルと波動関数をフーリエ級数展開し、シュレーディンガー方程式を解くことで、エネルギーと波数ベクトルの関係式を導き出します。この式からも、バンドギャップの存在が示されます。

まとめ

クローニッヒ・ペニーモデルは、周期ポテンシャル下での電子の挙動を理解するための簡潔で強力なモデルです。このモデルを用いて、バンド構造、バンドギャップの形成メカニズムなどを定性的に理解することができます。より複雑な系を扱う場合でも、このモデルは基礎的な理解を提供し、出発点となります。

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