ザリスキー位相

ザリスキ位相

ザリスキ位相は、代数幾何学と可換環論において基本的な役割を果たす位相空間の構造です。この位相は、オスカー・ザリスキによって最初に導入されました。主に、代数的な方程式系で定義される図形である代数多様体や、可換環の素イデアル全体からなる集合、すなわちその環のスペクトルといった対象の上に定義されます。

この位相の導入により、基礎となる体が一般的な体である場合でも、代数的な対象を位相空間論の豊かな道具を用いて研究することが可能になりました。これは、現代代数幾何学の基盤であるグロタンディークのスキーム論において、中心的な考え方の一つとなっています。スキーム論では、ユークリッド空間の開集合を貼り合わせて多様体を構成するように、アファイン多様体に対応するスペクトルという構造を貼り合わせてより一般的な代数的な空間を構成しますが、ザリスキ位相はこの構成の骨格を形成します。

多様体におけるザリスキ位相 (古典的定義)

スキーム論が導入される以前の古典的な代数幾何学では、ザリスキ位相は主に代数多様体の上に定義されました。ここでいう閉集合は、多様体の代数的な方程式系によって定義される部分集合、すなわち代数的部分集合全体と定められます。最も基本的な代数多様体であるアファイン多様体と射影多様体について、具体的に見てみましょう。

固定された代数閉体 `k` 上の `n` 次元アファイン空間 `A^n` に位相を定義する場合、閉集合は `A^n` のすべての代数的集合として定義されます。これは、`k` 上の `n` 変数多項式の集合 `S` に対して、その共通零点集合 `V(S) = {x ∈ A^n | f(x) = 0, ∀ f ∈ S}` の形で表される集合全体です。この定義から、`V(S)` は `S` の生成するイデアル `(S)` によって決まる `V((S))` と等しいことや、閉集合の有限和や任意交叉も再び閉集合となる性質が導かれ、確かに位相が定まります。これが `A^n` 上のザリスキ位相です。

任意のアファイン代数的集合 `X` に対するザリスキ位相は、それが包含される `A^n` から誘導される相対位相として定義されるか、あるいは `X` のアファイン座標環 `A(X)` の元の零点集合として定義されます。

例えば、複素数体 `k=C` 上のアフィン直線 `A^1` を考えます。ザリスキ位相における閉集合は、有限個の点からなる集合と、`A^1` 全体のみです。これに対し、通常のユークリッド位相では、例えば整数全体の集合 `Z` は閉集合ですが、ザリスキ位相では閉集合になりません。このように、ザリスキ位相は通常の位相よりもはるかに粗く、ユークリッド位相での多くの閉集合がザリスキ位相では閉集合とならないという大きな違いがあります。

射影空間 `P^n` においても同様にザリスキ位相が定義されます。ここでは、閉集合は斉次多項式の集合 `S` の共通零点集合 `V(S)` として定義されます。射影多様体上のザリスキ位相は、射影空間から誘導される相対位相として定義されます。

性質 (古典的)

基本開集合: ザリスキ位相の開集合の基底として、単一の多項式（または斉次多項式）`f` の非零点集合 `D(f)` を取ることができます。
ネーター空間: ヒルベルトの基底定理などにより、アファイン空間や射影空間はネーター位相空間であり、任意の部分空間は準コンパクト（現代的な意味でのコンパクト性）です。
非ハウスドルフ性: 基礎体が有限体でない場合、ザリスキ位相は通常ハウスドルフ空間ではありません。しかし、点は閉集合であるためT1空間の公理を満たします。
連続写像: 多様体間の正則写像は、ザリスキ位相に関して連続です。実際、ザリスki位相は、点が閉集合であり、正則写像が連続となるような最も弱い位相です。

環のスペクトルにおけるザリスキ位相 (現代的定義)

現代代数幾何学、特にスキーム論では、ザリスキ位相は可換環 `A` の素イデアル全体 `Spec(A)` 上に定義されます。この集合 `Spec(A)` における閉集合は、`A` の任意のイデアル `I` に対して、`I` を含む素イデアル `P` の集合 `V(I) = {P ∈ Spec(A) | I ⊆ P}` として定義されます。

この定義と古典的な多様体上の定義との関係は、ヒルベルトの零点定理によって理解されます。代数閉体上の多項式環の場合、極大イデアルは古典的なアファイン多様体の点と一対一に対応します。グロタンディークの革新的な視点は、この極大イデアルに対応する「点」だけでなく、既約代数多様体に対応する素イデアルをも一般化された「点」として含めることでした。環 `A` の元 `a` は `Spec(A)` 上の関数と見なすことができ、素イデアル `P` における値は `A/P` の分数体における `a` の像です。この関数が `P` でゼロになるのは `a` が `P` に含まれるときであり、したがって閉集合 `V((a))` は「関数 `a` がゼロになる点（素イデアル）の集合」と解釈できます。一般の `V(I)` は、イデアル `I` のすべての元がゼロになる点の集合です。`Spec(A)` はアフィンスキームと呼ばれ、射影多様体の現代的な対応物は Proj 構成によって定義されます。

性質 (現代的)

点の非閉性: 現代的な定義では、点が必ずしも閉集合であるとは限りません。閉集合である点は、環の極大イデアルに対応します。
生成点: 素イデアルに対応する「点」の中には、その閉包が空間全体となるような生成点が存在する場合があります。
T0空間: `Spec(A)` は常にT0空間です。
準コンパクト性: `Spec(A)` や Proj 構成によって得られる空間は準コンパクトです。環 `A` がネーター的であれば、空間はネーター位相空間となります。ただし、この準コンパクト性は通常のユークリッド位相におけるコンパクト性の直感とは異なります。
固有性: 直感的な意味でのコンパクト性を捉えるため、スキーム論では「固有性」という概念が導入されました。

例 (現代的)

体 `k` のスペクトル `Spec(k)`: これは、零イデアルのみを含むため、ただ一点からなる位相空間です。
整数環 `Z` のスペクトル `Spec(Z)`: この空間の閉点としては、各素数 `p` に対応する極大イデアル `(p)` があります。また、零イデアル `(0)` は閉集合ではない生成点となります。`Spec(Z)` の閉集合は、有限個の閉点の合併と空間全体に限られます。
体 `k` 上の一変数多項式環 `k[t]` のスペクトル `Spec k[t]`: これはアフィン直線 `A^1` に対応します。`k` が代数的閉体であれば、閉点は `k` の元 `a` に対応する極大イデアル `(t-a)` のみであり、生成点として零イデアル `(0)` が存在します。`k` が代数的閉体でない場合、既約な非線型多項式に対応する素イデアルも閉点として現れます。いずれの場合も、閉集合は閉点の有限合併と空間全体からなります。

ザリスキ位相は、その非ハウスドルフ性など、初見では直感に反する性質を持ちますが、代数的な構造を位相的な言葉で記述し、代数幾何学を深く研究するための強力な枠組みを提供します。

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