シュタイナー楕円

幾何学において、シュタイナー楕円（シュタイナーだえん、Steiner ellipse）とは、ある三角形の三つの頂点すべてを通り、かつその三角形の重心をちょうど中心とするように描かれる特別な楕円です。この楕円の名称は、19世紀の著名なスイスの数学者、ヤコブ・シュタイナーの研究に由来しています。

同じ三角形に内接するシュタイナー楕円が存在することから、区別するためにこの楕円を特に「シュタイナーの外接楕円」と呼ぶこともあります。シュタイナー楕円は、その三角形に外接する全ての楕円の中で、面積が最小であることが知られています。具体的には、その面積は元の三角形の面積の $$\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$$ 倍となります。これは、同じ三角形のシュタイナー内接楕円のちょうど4倍の面積に相当します。

三角形の辺の長さを $a, b, c$ とした場合、シュタイナー楕円は三角形上の座標を用いて代数的に表現できます。例えば、三線座標 $(x:y:z)$ を用いると、この楕円の方程式は

$$ bcyz + cazx + abxy = 0 $$

と表されます。また、重心座標 $(x:y:z)$ を用いると、より簡潔な方程式で表現され

$$ yz + zx + xy = 0 $$

となります。

シュタイナー楕円の形状、すなわち長軸と短軸の長さ、および二つの焦点の位置も、三角形の辺の長さから計算できます。長軸と短軸の半分の長さは、以下の式で与えられます。

$$ \frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z} $$

ここで、$Z$ は以下の式で定義される値です。

$$ Z = \sqrt{a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - b^2c^2 - c^2a^2} $$

二つの焦点間の距離は、$\frac{2}{3}\sqrt{Z}$ となります。

シュタイナー楕円の二つの焦点は「ビカート点 (Bickart points)」として知られており、三角形の中心に関する研究で知られるクラーク・キンバリングのデータベースにおいては、P(116)およびU(116)として登録されています。これらの焦点の重心座標も複雑な式で与えられます。

シュタイナー楕円は、三角形の外接円とちょうど4点で交わります。このうち3点は三角形の各頂点であり、残りの1点はシュタイナー点（Steiner point）と呼ばれる特別な点です。また、シュタイナー楕円は外接円錐曲線の一種に分類されます。

シュタイナー楕円とシュタイナー内接楕円は、興味深いつながりを持っています。両者は共通の重心を持ち、互いに相似の関係にあります。その相似比は2:1（シュタイナー楕円が大きい方）であり、それぞれの長軸および短軸は同一の直線上 nằm (lie on the same line) しています。したがって、両楕円の焦点もまた同一直線上にあり、離心率は等しくなります。前述のように、面積比は4:1です。

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