シュタイナー点
ユークリッド幾何学の世界において、シュタイナー点（Steiner point）は、特定の重要な性質を持つ「三角形の中心」の一つとして位置づけられています。
この特異な点は、スイスの数学者であるヤコブ・シュタイナーが1826年にその存在を示唆し、その後、1886年にヨーゼフ・ノイベルグによって現在の名称が与えられました。なお、文脈によっては、計算幾何学の分野で「平面上の複数の点からの距離の合計が最小となる点」を指してシュタイナー点と呼ぶこともありますが、これはここで扱う三角形のシュタイナー点とは異なる概念です。
キンバーリングによる「Encyclopedia of Triangle Centers」では、シュタイナー点はX(99)として登録されており、多数ある三角形の中心の中でも比較的早期に発見され、研究されてきた点と言えます。
シュタイナー点の定義にはいくつかの方法がありますが、ここでは主要な二つを挙げます。
1. ブロカール円とブロカール三角形を用いた定義:
三角形ABCの外心をO、類似重心をKとします。線分OKを直径とする円はブロカール円として知られています。このブロカール円と辺BCの垂直二等分線の交点のうち、Oでない方をA'とします。同様に、辺CA、ABに対してもB', C'を定めます。このときできる三角形A'B'C'はブロカール三角形と呼ばれます。
次に、頂点Aを通り、辺B'C'に平行な直線をl_Aとします。同様に、Bを通る辺C'A'に平行な直線をl_B、Cを通る辺A'B'に平行な直線をl_Cとします。興味深いことに、これら三つの直線l_A, l_B, l_Cは一点で交わります。この共点こそが、三角形ABCのシュタイナー点として定義されます。
2. 鏡映を用いた定義:
三角形ABCの外心O、類似重心Kは前述と同様です。直線OKを辺BCに関して鏡映した点をl_Aとします。同様に、直線OKを辺CA、ABに関して鏡映した点をそれぞれl_B, l_Cとします。
直線l_Bとl_Cの交点をA''、直線l_Cとl_Aの交点をB''、直線l_Aとl_Bの交点をC''とします。このとき、頂点Aと点A''を結ぶ直線、頂点Bと点B''を結ぶ直線、頂点Cと点C''を結ぶ直線は、再び一点で交わります。この共点もまた、三角形ABCのシュタイナー点と定義されます。
三角形の頂点A, B, Cの対辺の長さをそれぞれa, b, c、内角をA, B, Cとするとき、シュタイナー点の三線座標は以下の式で与えられます。
$\frac{bc}{b^2-c^2} : \frac{ca}{c^2-a^2} : \frac{ab}{a^2-b^2}$
これはまた、角度を用いて以下のように表すこともできます。
b^2 c^2 \csc(B-C) : c^2 a^2 \csc(C-A) : a^2 b^2 \csc(A-B)
ここで、cscはコセカント関数（$\csc x = 1/\sin x$）を表します。
シュタイナー点は多くの興味深い幾何学的性質を持ちます。
シュタイナー楕円との関連: シュタイナー点は、三角形のシュタイナー楕円（辺の中点を通る内接楕円）と外接円の第四交点として特徴づけられます。
キーペルト放物線: シュタイナー点のチェバ三角形（シュタイナー三角形と呼ばれることもあります）は、キーペルト放物線という有名な放物線の極三角形となります。さらに、シュタイナー点自身は、キーペルト放物線のブリアンション点であることが知られています。
重心に関する誤解: かつてカナダの数学者ロス・ホンスバーガーは、シュタイナー点を「各頂点にその頂点の外角に等しい質量をつり下げた系の重心」と説明しましたが、これは誤りです。この説明に対応する点は、実際にはシュタイナーの曲率重心と呼ばれる別の点（X(1115)）であり、その三線座標は$(\frac{\pi-A}{a} : \frac{\pi-B}{b} : \frac{\pi-C}{c})$で与えられます。
シムソン線: シュタイナー点に対する三角形ABCのシムソン線は、外心と類似重心を通る直線であるブロカール軸に平行になります。
シュタイナー点と密接に関連する点として、タリ―点（Tarry point）があります。タリ―点は、三角形の外接円において、シュタイナー点のちょうど対蹠（たいせき）点に位置する点です。キンバーリングのリストではX(98)として登録されており、シュタイナー点と対をなす形で現れます。
タリ―点の三線座標は、ブロカール角ωを用いて以下のように表されます。
sec(A+ω) : sec(B+ω) : sec(C+ω)
これは辺の長さa, b, cを用いた複雑な式としても表現されます。
タリ―点の定義も、シュタイナー点の定義と対照的です。ブロカール三角形A'B'C'を用いた定義では、頂点Aを通り辺B'C'に「垂直な」直線l_Aを考えます。同様にl_B, l_Cを定義すると、これら三つの直線は一点で交わり、その点がタリ―点となります。シュタイナー点の定義で「平行」であった部分が、タリ―点では「垂直」に置き換わっているのが特徴的です。
シュタイナー点とタリ―点は、どちらも三角形の幾何学において重要な役割を果たし、ブロカール点やキーペルト放物線など、他の多くの興味深い幾何的概念と深く結びついています。
この特異な点は、スイスの数学者であるヤコブ・シュタイナーが1826年にその存在を示唆し、その後、1886年にヨーゼフ・ノイベルグによって現在の名称が与えられました。なお、文脈によっては、計算幾何学の分野で「平面上の複数の点からの距離の合計が最小となる点」を指してシュタイナー点と呼ぶこともありますが、これはここで扱う三角形のシュタイナー点とは異なる概念です。
キンバーリングによる「Encyclopedia of Triangle Centers」では、シュタイナー点はX(99)として登録されており、多数ある三角形の中心の中でも比較的早期に発見され、研究されてきた点と言えます。
シュタイナー点の定義
シュタイナー点の定義にはいくつかの方法がありますが、ここでは主要な二つを挙げます。
1. ブロカール円とブロカール三角形を用いた定義:
三角形ABCの外心をO、類似重心をKとします。線分OKを直径とする円はブロカール円として知られています。このブロカール円と辺BCの垂直二等分線の交点のうち、Oでない方をA'とします。同様に、辺CA、ABに対してもB', C'を定めます。このときできる三角形A'B'C'はブロカール三角形と呼ばれます。
次に、頂点Aを通り、辺B'C'に平行な直線をl_Aとします。同様に、Bを通る辺C'A'に平行な直線をl_B、Cを通る辺A'B'に平行な直線をl_Cとします。興味深いことに、これら三つの直線l_A, l_B, l_Cは一点で交わります。この共点こそが、三角形ABCのシュタイナー点として定義されます。
2. 鏡映を用いた定義:
三角形ABCの外心O、類似重心Kは前述と同様です。直線OKを辺BCに関して鏡映した点をl_Aとします。同様に、直線OKを辺CA、ABに関して鏡映した点をそれぞれl_B, l_Cとします。
直線l_Bとl_Cの交点をA''、直線l_Cとl_Aの交点をB''、直線l_Aとl_Bの交点をC''とします。このとき、頂点Aと点A''を結ぶ直線、頂点Bと点B''を結ぶ直線、頂点Cと点C''を結ぶ直線は、再び一点で交わります。この共点もまた、三角形ABCのシュタイナー点と定義されます。
三線座標
三角形の頂点A, B, Cの対辺の長さをそれぞれa, b, c、内角をA, B, Cとするとき、シュタイナー点の三線座標は以下の式で与えられます。
$\frac{bc}{b^2-c^2} : \frac{ca}{c^2-a^2} : \frac{ab}{a^2-b^2}$
これはまた、角度を用いて以下のように表すこともできます。
b^2 c^2 \csc(B-C) : c^2 a^2 \csc(C-A) : a^2 b^2 \csc(A-B)
ここで、cscはコセカント関数（$\csc x = 1/\sin x$）を表します。
シュタイナー点の性質
シュタイナー点は多くの興味深い幾何学的性質を持ちます。
シュタイナー楕円との関連: シュタイナー点は、三角形のシュタイナー楕円（辺の中点を通る内接楕円）と外接円の第四交点として特徴づけられます。
キーペルト放物線: シュタイナー点のチェバ三角形（シュタイナー三角形と呼ばれることもあります）は、キーペルト放物線という有名な放物線の極三角形となります。さらに、シュタイナー点自身は、キーペルト放物線のブリアンション点であることが知られています。
重心に関する誤解: かつてカナダの数学者ロス・ホンスバーガーは、シュタイナー点を「各頂点にその頂点の外角に等しい質量をつり下げた系の重心」と説明しましたが、これは誤りです。この説明に対応する点は、実際にはシュタイナーの曲率重心と呼ばれる別の点（X(1115)）であり、その三線座標は$(\frac{\pi-A}{a} : \frac{\pi-B}{b} : \frac{\pi-C}{c})$で与えられます。
シムソン線: シュタイナー点に対する三角形ABCのシムソン線は、外心と類似重心を通る直線であるブロカール軸に平行になります。
タリー点
シュタイナー点と密接に関連する点として、タリ―点（Tarry point）があります。タリ―点は、三角形の外接円において、シュタイナー点のちょうど対蹠（たいせき）点に位置する点です。キンバーリングのリストではX(98)として登録されており、シュタイナー点と対をなす形で現れます。
タリ―点の三線座標は、ブロカール角ωを用いて以下のように表されます。
sec(A+ω) : sec(B+ω) : sec(C+ω)
これは辺の長さa, b, cを用いた複雑な式としても表現されます。
タリ―点の定義も、シュタイナー点の定義と対照的です。ブロカール三角形A'B'C'を用いた定義では、頂点Aを通り辺B'C'に「垂直な」直線l_Aを考えます。同様にl_B, l_Cを定義すると、これら三つの直線は一点で交わり、その点がタリ―点となります。シュタイナー点の定義で「平行」であった部分が、タリ―点では「垂直」に置き換わっているのが特徴的です。
シュタイナー点とタリ―点は、どちらも三角形の幾何学において重要な役割を果たし、ブロカール点やキーペルト放物線など、他の多くの興味深い幾何的概念と深く結びついています。
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