セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数の概要

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、1956年にアトル・セルバーグによって提唱された数学の重要な関数です。この函数は、広く知られているリーマンゼータ函数と類似の構造を持ちます。リーマンゼータ函数は素数の集合を用いて定義されますが、セルバーグゼータ函数は代わりに単純な閉測地線の長さを利用します。

定義と特性

セルバーグゼータ函数は、SL(2,R) の部分群 Γ に対して次のように定義されます：

$$
ext{ζ}_Γ(s) = igg( rac{1}{1 - N(p)^{-s}} igg)^{-1}.
$$
ここで、N(p) は合同類 p のノルムであり、p のより大きい固有値の二乗として定義されます。

さらに、別の形式として、以下のように表現することも可能です：

$$
Z_Γ(s) = igg( igg(1 - N(p)^{-s-n}igg) igg)_{n=0}^{orall}.
$$
このように定義されたセルバーグゼータ函数は、複素平面上の有理型函数として振る舞い、特に有限領域を持つ双曲曲面において重要です。

ゼロ点と極

セルバーグゼータ函数は、そのゼロ点および極に関しても特筆すべき性質があります。ゼロ点は、全てのカスプ形式において、固有値 $$s_0(1 - s_0)$$ を持つ点として現れ、対応する固有空間の次元に等しいオーダーを持ちます。カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数です。

このゼータ函数のさらに興味深い点は、散乱行列 $$ ext{ϕ}(s)$$ の全ての極でゼロ点を持つことです。また、ゼータ函数は、$$rac{1}{2} - N$$ において極を持つ他、点 $$- ext{N}$$ において極またはゼロ点を有することがあります。

特殊なケース：モジュラ群のセルバーグゼータ函数

モジュラ群 Γ を用いる状況では、曲面が $$Γ ackslash ext{H}^2$$ である場合に、セルバーグゼータ函数が特に重要になります。リーマンゼータ函数との関連性が強く、この場合の散乱行列の行列式は次のように定義されます：

$$
ext{ϕ}(s) = rac{ heta^{1/2} Γ(s - 1/2) ζ(2s - 1)}{Γ(s) ζ(2s)},
$$
ここで、$$ heta$$ は特定の定数です。リーマンゼータ函数が $$s_0$$ でゼロ点を持つと、対応する散乱行列の行列式は $$rac{s_0}{2}$$ で極を持つため、セルバーグゼータ函数も同様に $$rac{s_0}{2}$$ でゼロ点を持つことが分かります。

結論

セルバーグゼータ函数は、関数解析や数論、幾何学の研究において非常に重要な役割を果たします。この函数は、さまざまな数学的構造を理解するための強力なツールであり、理論的な研究や応用において広く利用されています。特に、リーマンゼータ函数との関連性から流れる多くの深遠な結果は、数学界における深い洞察を与え続けています。

参考文献

• - Fischer, J. (1987). An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta-function. Lecture Notes in Mathematics, 1253. Springer-Verlag.
• - Hejhal, D. A. (1976). The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I. Lecture Notes in Mathematics, 548. Springer-Verlag.
• - Hejhal, D. A. (1983). The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. 2. Lecture Notes in Mathematics, 1001. Springer-Verlag.
• - Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms. American Mathematical Society, 2nd edition.
• - Selberg, A. (1956). Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces. J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20:47-87.
• - Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
• - Sunada, T. L-functions in geometry and some applications. Proc. Taniguchi Symp. 1985.

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