ソディの6球連鎖

ソディの6球連鎖とは

ソディの6球連鎖（Soddy's hexlet）は、特定の条件下で構成される、球が数珠つなぎになったような興味深い幾何学的な配置に関する定理です。この定理は、一つの大きな外側の球に内接し、さらに互いに接している二つの球（これを核球と呼びます）が存在する場合、外球に内接しつつ、その二つの核球にも外接し、かつ隣り合う球同士が互いに外接するような球の連鎖は、必ず6個になるというものです。この連鎖をなす6つの球は、数学的に美しい関係を満たしており、例えばそれらの球の半径を $r_1, r_2, \dots, r_6$ とすると、$1/r_1 + 1/r_4 = 1/r_2 + 1/r_5 = 1/r_3 + 1/r_6$ という関係が成り立ちます。

この定理は、イギリスの化学者であるフレデリック・ソディによって1936年に学術雑誌『ネイチャー』で発表され、その名が冠されています。しかし、驚くべきことに、それより110年以上も前の江戸時代の日本において、和算家である入澤新太郎博篤が既にこの配置とその性質を発見し、算額（神社仏閣に奉納された額に書かれた数学の問題）として提示していました。これは、和算が独自の発展を遂げ、西洋数学と独立した発見を成し遂げていた一例として、今日でも注目されています。

日本における先行発見：寒川神社の算額

円や球、多角形や多面体といった図形が互いに接する関係を解析することは、江戸時代の和算家が得意とした分野の一つでした。入澤新太郎博篤が1822年に相模国（現在の神奈川県）の寒川神社に奉納した算額も、そのような問題の一つでした。残念ながらこの算額は現存していませんが、内田五観の算額集『古今算鑑』（1832年刊行）にその内容が記録されています。現在、寒川神社の方徳資料館には、この記録をもとに復元された算額が展示されています。

入澤の算額には三つの問題が記されており、その中の一つがこの6球連鎖に関するものでした。具体的な問いは、「外球の直径が30寸、二つの核球の直径がそれぞれ10寸と6寸、そして連鎖球の一つが直径5寸であるとき、残りの五つの連鎖球の直径を求めよ」というものでした。この問題に対し、算額には各球の直径を計算する方法、すなわち現代的な表現で公式と見なせる計算手順が記されており、答えとして残りの球の直径が順に15寸、10寸、3寸7分5厘、2寸5分、2寸と11分の8寸となることが示されていました。この解答の中に含まれる計算規則からは、前述の連鎖球の半径に関する関係式が導き出されることからも、入澤がこの定理の核心部分を理解していたことが分かります。

定理の証明：反転幾何学の利用

ソディの6球連鎖定理を証明する際に強力なツールとなるのが、幾何学的な変換の一つである「反転」です。反転とは、ある中心点と半径を持つ球を基準として、空間上の点を別の点に対応させる操作です。この反転を用いると、球は別の球に変換され（ただし、反転の中心を通る球は平面になります）、二つの球が接しているという関係は、反転後もそのまま保たれます（ただし、反転の中心で接する二つの球は、反転すると平行な二つの平面になります）。平面は半径が無限大の球と解釈できるため、球と平面を統一的に扱えます。

この性質を利用すると、6球連鎖の定理は比較的容易に証明できます。二つの核球O1とO2の接点を反転の中心として適当な半径で反転を行うと、核球O1とO2は平行な二つの平面に変換されます。一方、外球O0と連鎖する球S1, ..., Sxは、O1とO2の両方に接していたため、反転後もこの平行な二平面に接します。さらに外球と連鎖球は互いに接していたため、反転後も互いに接する状態が保たれます。その結果、反転後の世界では、二つの平行平面に挟まれた空間に、互いに接しながら一つの大きな球（反転された外球）の周りを囲むように配置された同一半径の球群が現れます。このような配置で、平行平面に挟まれつつ大きな球の周りを隙間なく囲むことができる球の数は、幾何学的に考えて6個しかありません。反転はもとの配置の数を変えないため、元の世界の連鎖球の数も6個であると証明されるわけです。また、反転によって球の半径がどのように変化するかを調べることで、連鎖球の半径間に成り立つ関係式も導くことができます。

6球連鎖の多様性と関連

反転による証明方法は、実際にソディの6球連鎖を構成する手がかりも与えてくれます。反転後の世界の比較的単純な球の配置（平行平面に挟まれ、大きな球の周りを囲む同一半径の6つの球）から始めて、それを元の世界に反転させれば、条件を満たす6球連鎖が得られるのです。実は、一つの外球と二つの核球が与えられたとしても、それだけで6球連鎖の形が一通りに決まるわけではありません。連鎖する6つの球のうちの一つを任意に選んでその大きさを指定すると、残りの5つの球の大きさはただ一通りに定まります。つまり、様々なバリエーションの6球連鎖が存在するということです。

この6球連鎖を構成する球の中心は、すべて同一平面上に位置するという美しい性質があります。この平面で6球連鎖の断面を考えると、それは「シュタイナーの円鎖」と呼ばれる、二つの円に内接・外接しつつ互いに接する円の連鎖の特別な場合（円の数が6個の場合）になります。また、連鎖する6つの球が空間上で描く軌跡は、「デュパンのサイクライド」として知られる特定の曲面の一部を形成します。デュパンのサイクライドは1803年にシャルル・デュパンによって発表されており、これもソディの定理より古い発見です。

ソディの6球連鎖は、シンプルな条件から生まれる厳密な構造と、東西で独立して発見された興味深い歴史、そして反転幾何学を用いた証明の巧妙さなど、様々な側面から数学的な魅力を持つテーマと言えるでしょう。

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