ソディ円

ソディ円 (Soddy Circles)

幾何学におけるソディ円は、任意の三角形に対して定義される一意的な2つの円です。その名は、デカルトの円定理を再発見した化学者で物理学者のフレデリック・ソディにちなんで名づけられました。

定義

三角形の3つの頂点をA, B, Cとし、それぞれの対辺の長さをa, b, c、そして半周長をsとします。ここで、各頂点を中心とし、半径をそれぞれs-a, s-b, s-cとする3つの円を考えます。これらの円は互いに接するという興味深い性質を持ちます。

デカルトの円定理によれば、3つの互いに接する円に対して、それらすべてに接する円は最大で2つ存在します。この2つの円をソディ円と呼びます。

ソディ点とソディ線

ソディ円の中心はソディ点（Soddy centers）と呼ばれ、2つのソディ円に対応して2つ存在します。これら2つのソディ点を通る直線をソディ線（Soddy line）と呼びます。ソディ線は三角形の特定の中心点の多くが通過する特別な直線として知られています。

性質

最初に定義した3つの円（中心が頂点、半径がs-辺長）が三角形の辺と接する点は、三角形の内接円が辺と接する点と一致し、これらはジェルゴンヌ三角形の頂点を形成します。
2つのソディ円は、一般的に三角形の内接円の外側と内側に位置します。
ソディ点は、三角形の頂点のうち2つを焦点とし、残りの1つの頂点を通る3つの双曲線の交点として定義することもできます。
内側のソディ点（第二ソディ点）は等周点（equal detour point）とも呼ばれ、この点から3頂点への距離の合計が特定の条件を満たします。
デカルトの定理を用いると、ソディ円の曲率（半径の逆数に符号をつけたもの）を計算できます。曲率の値によって、ソディ円やその中心は異なる性質を持ちます。例えば、外側のソディ点（第一ソディ点）は、その曲率が正であればもう一方の等周点となり、負であれば等迂回点（isoperimetric point）と呼ばれ、点と2つの頂点からなる三角形の周長に関して特定の性質を持ちます。
もし外側のソディ円の曲率がゼロ、すなわちその円が無限遠点を通る直線となる場合、元の三角形はソディアン三角形（Soddyian triangles）と呼ばれます。

その他の関連円

冒頭で定義した半径(s-a, s-b, s-c)を持つ円の組の他に、負の半径を許容することで、異なる半径を持つ3つの互いに接する円の組を考えることができます。負の半径は、円が他の円に内側で接することを意味します。例えば、中心をA, B, Cとし、半径を(-s, s-c, s-b)とする円の組などが考えられます。これらの円の組からも、同様にデカルトの定理を用いて2つのソディ円とソディ点を定義することが可能です。これらのソディ線は、元の三角形の傍心などを通り、ド・ロンシャン点で交わることが知られています。

関連する点と図形

ソディ円や最初の3つの円の接点によって定義される三角形や、それらに関連して現れる特定の点も研究されています。

ソディ三角形（Soddy triangle）：第一ソディ円（または第二ソディ円）と、最初の3つの円（中心が頂点、半径がs-辺長）との接点を頂点とする三角形を、それぞれ第一（外）ソディ三角形、第二（内）ソディ三角形と呼びます。
エプスタイン点（Eppstein points）：第一ソディ三角形とジェルゴンヌ三角形が配景的な位置にあるときの配景の中心を第一エプスタイン点といいます。第二ソディ三角形に関しても同様に第二エプスタイン点が定義され、これらの点はソディ線上に位置します。
リグビー点（Rigby points）：第二ソディ三角形とその接線三角形の配景の中心などを第一（内）リグビー点と呼びます。第一ソディ三角形に関しても同様に第二（外）リグビー点が定義され、これらの点もソディ線上に位置します。
グリフィス点（Griffiths points）：第一ソディ三角形の接線三角形と第二ソディ三角形の配景の中心などを第一（外）グリフィス点と呼びます。同様に第二ソディ三角形の接線三角形と第一ソディ三角形の配景の中心を第二（内）グリフィス点と呼び、これらの点もソディ線上に位置します。

これらの概念は、三角形幾何学における円の接し方や特別な点の位置に関する興味深い研究対象となっています。

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