ド・ロンシャン点

ド・ロンシャン点

ド・ロンシャン点（英: de Longchamps Point）は、三角形に関連する特定の幾何学的な点の一つです。最も一般的な定義は、三角形の外心に対する垂心の鏡像点（対称な位置にある点）です。また、三角形の各辺の中点を結んでできる反中点三角形という別の三角形を考えたとき、その反中点三角形の垂心もド・ロンシャン点と一致します。この点は、19世紀のフランスの数学者であるガストン・アルベール・ゴエール・ド・ロンシャン（Gaston Albert Gohierre de Longchamps）に敬意を表して名付けられました。

性質

ド・ロンシャン点は、三角形の様々な幾何学的な構成において特別な役割を果たし、いくつかの興味深い性質を持っています。

オイラー線上の位置: ド・ロンシャン点は、三角形の外心、重心、垂心といった中心が乗る直線であるオイラー線上に位置します。これは、定義自体が外心に対する垂心の対称点であることからも理解できます。

ド・ロンシャン円の中心: ド・ロンシャン自身の研究では、この点を特定の円の中心として定義しました。ここで言う特定の円（ド・ロンシャン円）とは、三角形の各辺BC, CA, ABをそれぞれ直径とする3つの円の根軸が一点で交わるその交点（根心）のことです。ド・ロンシャン円の中心がド・ロンシャン点に他なりません。

平行線と垂線の交点: 三角形の各頂点A, B, Cを通る、それぞれの対辺BC, CA, ABに平行な直線を考えます。これらの平行線が三角形の外接円と交わる点のうち、頂点自身ではない方の点を取ります。そして、これらの交点から元の三角形の各辺BC, CA, ABに下ろした垂線は、一点で交わります。この交点こそがド・ロンシャン点です。

ソディ線上の位置: ド・ロンシャン点は、三角形の内心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線であるソディ線上に位置します。これは、三角形の中心に関する別の重要な直線上にこの点があることを示しています。

GEOS円上の位置: この点は、GEOS円と呼ばれる特別な円上にも存在します。

四面体との関係: 4面が合同な四面体という特別な立体図形において、一つの頂点からその対面（三角形）に下ろした垂線は、対面である三角形のド・ロンシャン点を通るという性質があります。

長さの二乗の関係: ド・ロンシャン点をLとすると、三角形の頂点A, B, Cとド・ロンシャン点Lとの間の距離について、$AL^2 - BC^2 = BL^2 - CA^2 = CL^2 - AB^2$ という関係が成り立ちます。

シュタイナー円との関係: 九点円と同心であり、外接円の半径の3/2倍の半径を持つ円をシュタイナー円（Steiner circle）と呼びます。外接円とシュタイナー円の二つの相似中心のうちの一つは、ド・ロンシャン点です。

ダルブ―三次曲線の「Pivot Point」: ド・ロンシャン点は、特定の三次曲線であるダルブ―三次曲線の「Pivot Point」として知られています。

三角形の中心としての分類と座標

クラーク・キンバリングが編纂した「Encyclopedia of Triangle Centers（三角形の中心の百科事典）」では、ド・ロンシャン点はX20として登録されています。その重心座標は、三角形の角をA, B, Cとして、タンジェントを用いて次のように表されます。

$$ \tan B + \tan C - \tan A : \tan C + \tan A - \tan B : \tan A + \tan B - \tan C $$

このように、ド・ロンシャン点は三角形の幾何学において、定義や他の様々な中心、円、直線との関連を通じて、重要な役割を位置を占める点の一つです。

関連項目

三角形の中心
オイラー線
外心
垂心
内心
ジェルゴンヌ点
九点円
外接円
ダルブ―三次曲線

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