代数的閉包

代数的閉包は、数学、特に抽象代数学における体の構造を理解する上で極めて重要な概念です。ある体 K の代数的閉包とは、体 K を含む代数拡大体であって、それ自身が「代数的に閉じている」という性質を持つ体を指します。ここで言う「代数的に閉じている」体とは、その体を係数とする任意のゼロでない多項式が、必ずその体の中に根を持つような体のことです。また、「代数拡大」とは、拡大体の任意の要素が、元の体 K 上のある多項式の根となるような体の拡大のことです。

数学における強力な存在証明の道具であるツォルンの補題を用いることで、驚くべきことに、全ての体に対して代数的閉包が確かに存在することが証明されています。さらに重要な性質として、ある体 K の代数的閉包は、K の要素を固定するような体の同型写像を除けば、ただ一つに定まるという本質的な一意性を持っています。この一意性ゆえに、単に「ある代数的閉包 (an algebraic closure)」ではなく、「その代数的閉包 (the algebraic closure)」と呼ばれるのが一般的です。

代数的閉包は、体 K の代数拡大全体を包含する、K の最大の代数拡大体と見なすことができます。実際、K の任意の代数拡大体 L が与えられたとき、L の代数的閉包は K の代数的閉包と一致します。したがって、任意の代数拡大 L は K の代数的閉包の部分体として含まれます。加えて、代数的閉包は K を含む代数的に閉じた体の中で最小のものでもあります。これは、K を含む任意の代数的に閉じた体 M が存在する場合、M の要素のうち K 上で代数的なものだけを集めると、それがまさに K の代数的閉包を形成することから分かります。

集合としての代数的閉包の濃度（要素の個数）は、元の体 K の性質に依存します。体 K が無限体であるならば、その代数的閉包の濃度は K 自身の濃度と同じになります。一方、体 K が有限体であるならば、その代数的閉包は可算無限の濃度を持つことが知られています。

いくつかの身近な体における代数的閉包の具体例を以下に挙げます。

実数体 $\mathbb{R}$ の代数的閉包は、代数学の基本定理によって保証されているように、複素数体 $\mathbb{C}$ です。
有理数体 $\mathbb{Q}$ の代数的閉包は、すべての代数的数からなる体、すなわち代数的数体 $\overline{\mathbb{Q}}$ です。
代数的数体 $\overline{\mathbb{Q}}$ を真に含み、複素数体 $\mathbb{C}$ に含まれるような、可算無限濃度を持つ代数的に閉じた体も数多く存在します。これらは、例えば有理数体の超越拡大体（例: $\mathbb{Q}(\pi)$）の代数的閉包として得られます。
要素数が素数の冪 $q$ である有限体の代数的閉包は、可算無限個の要素を持つ体であり、任意の正整数 $n$ に対して位数が $q^n$ である有限体のコピーを全て含みます。
* ピュイズーの定理によれば、標数 0 の代数的閉体係数を持つローラン級数体の代数的閉包は、ピュイズー級数体となります。

代数的閉包 $\overline{K}$ の中には、体 K の全ての分離拡大を含む、K の分離拡大体 $\overline{K}_s$ が唯一つ存在します。この部分体を K の分離閉包（separable closure）と呼びます。分離拡大の有限次分離拡大は再び分離拡大であるという性質から、$\overline{K}_s$ は K の分離拡大体であり、それ自身の上に非自明な有限次分離拡大を持たない、すなわち「分離的に閉じている」体であることがわかります。この分離閉包もまた、同型を除いて一意的に定まります。

体 K の分離閉包が代数的閉包全体 $\overline{K}$ と一致することと、K が完全体であることは同値な条件です。完全体とは、標数 0 の体、あるいは標数 $p > 0$ の体で、任意の要素の $p$ 乗根がその体の中に含まれるような体です。例えば、標数 $p > 0$ の体 K 上で超越的な元 $X$ を含む体 $K(X)$ は完全体ではありません。このとき、$K(X)$ の拡大体 $K(X)(\sqrt[p]{X})$ は $K(X)$ の非分離的な代数拡大となります。

体 K の絶対ガロワ群は、K の分離閉包 $\overline{K}_s$ の K 上のガロワ群 $\mathrm{Gal}(\overline{K}_s/K)$ として定義されます。これはガロワ理論において中心的な役割を果たし、体拡大の構造を理解する上で非常に重要です。

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