ハミルトンベクトル場

ハミルトンベクトル場の概要

ハミルトンベクトル場とは、数学および物理学の分野で特に重要な役割を果たすベクトル場の一種です。このベクトル場は、エネルギー関数、すなわちハミルトニアンに対して特定の方法で定義されます。その名は、19世紀の物理学者であり数学者でもあるウィリアム・ローワン・ハミルトンに由来しています。ハミルトンベクトル場は、物理的なシステムの時間に沿った進化を幾何学的に解釈するための強力なツールです。

ハミルトンベクトル場の定義

シンプレクティック多様体と呼ばれる数学的構造において、ハミルトンベクトル場は、関数に対して定義されるベクトル場の一種です。設定として、シンプレクティック多様体
(M, ω)を考えます。この多様体上の滑らかな関数fがあるとき、次のような条件を満たすベクトル場Xfが存在します。

$$
df = ext{ω}(X_f, ullet)
$$

ここでのωはシンプレクティック形式と呼ばれるもので、非退化性を持つため、Xfの存在が保証されます。特に、ハミルトニアンHを考えた場合、XHはハミルトンベクトル場として定義され、次の形式で表現されます。

$$
X_H = rac{ ext{∂}H}{ ext{∂}p_i} rac{ ext{∂}}{ ext{∂}q_i} - rac{ ext{∂}H}{ ext{∂}q_i} rac{ ext{∂}}{ ext{∂}p_i}
$$

ここにおいて、qiとpiはそれぞれ位置座標と運動量を表します。

性質

ハミルトンベクトル場にはいくつかの重要な性質があります。まず、ハミルトン関数の和は、対応するハミルトンベクトル場の和に変換されるため、線形性を持っています。特に、正準座標系(q1, ..., qn, p1, ..., pn)において、曲線γ(t)=(q(t), p(t))がハミルトンベクトル場XHの積分曲線であることと、この曲線がハミルトン方程式の解であることが同値であるという現象が観察されます。これにより、ハミルトニアンHは積分曲線に沿って一定の値を保持します。

この性質は、エネルギー保存の法則に直接対応しています。さらに、2つの関数FとHのポアソン括弧が0である場合、FはHの積分曲線に沿って一定であり、HもまたFの積分曲線に沿って一定であるという関係が成り立ちます。これらの性質は、ネーターの定理に基づく抽象的な数学的原理に起因します。

ポアソン括弧

ハミルトンベクトル場の概念はポアソン括弧を導出します。ポアソン括弧は、シンプレクティック多様体上の微分可能な関数に関連する双線型作用素であり、次のように定義されます。

$$
egin{align*}
ext{ポアソン括弧} \\ \\{f, g his = ω(X_g, X_f) = d g(X_f) = ext{L}_{X_f}g
ext{ポアソン括弧} \\ \\{f, g his = ω(X_g, X_f) = d g(X_f) = ext{L}_{X_f}g
ext{ポアソン括弧} \\ \\{f, g his = ω(X_g, X_f) = d g(X_f) = ext{L}_{X_f}g
ext{ポアソン括弧} \\ \\{f, g his = ω(X_g, X_f) = d g(X_f) = ext{L}_{X_f}g \\{f, g his = ω(X_g, X_f) = d g(X_f) = ext{L}_{X_f}g。
$$

これは、ハミルトンベクトル場の間でアクティブな関係を示しています。特に、ポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たし、可微分関数全体の集合がリー環の構造を持つことを示します。この構造は、ハミルトンダイナミクスの理論において中心的な役割を果たしています。

参考文献

• - Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings.
• - Arnol'd, V.I. (1997). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin: Springer.
• - Frankel, Theodore (1997). The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press.
• - McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs.

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