正準座標

正準座標（せいじゅんざひょう）

正準座標は、数学や古典力学において、物理系の状態を記述するために相空間上で用いられる特別な座標系のことを指します。特に、解析力学のハミルトン形式において中心的な役割を果たします。

古典力学における位置づけ

古典力学の枠組みでは、正準座標は相空間上の点を指定する座標の組 (`qᵢ`, `pᵢ`) として定義されます。ここで、`qᵢ` は「一般化座標」と呼ばれ系の配置に関する情報を、`pᵢ` は `qᵢ` に「共役な運動量」と呼ばれ系の運動に関する情報を表します。

これらの正準座標 (`qᵢ`, `pᵢ`) は、以下の基本的なポアソン括弧関係式を満たすという特徴があります。


{qᵢ, qⱼ} = 0
{pᵢ, pⱼ} = 0
{qᵢ, pⱼ} = δᵢⱼ


ここで `{ , }` はポアソン括弧を表し、`δᵢⱼ` はクロネッカーのデルタです。この関係式は、正準座標の組が系の状態を適切に記述するための根幹をなすものです。

正準座標の最も馴染み深い例としては、粒子の位置をデカルト座標 `qᵢ` とし、それに対応する運動量の成分を `pᵢ` とする場合が挙げられます。

正準座標は、ラグランジュ形式で用いられる一般化座標からルジャンドル変換を通じて導出されるほか、すでに正準座標で記述された系から「正準変換」と呼ばれる特別な座標変換によっても得られます。正準変換は相空間上の幾何構造を保つ変換であり、後述するシンプレクティック同相写像の特別な場合にあたります。

幾何学的な視点

より抽象的な数学の観点からは、正準座標は多様体 `Q` の余接バンドル `TQ` 上に定義される特別な座標系として理解されます。余接バンドル上の点は、基底多様体 `Q` 上の点とその点での余接ベクトル（1-形式）の組で表されます。正準座標はこの余接バンドル上の点を記述する際に、基底多様体の座標 `qᵢ` (あるいは `xᵢ`) と、それに対応する共役運動量 `pᵢ` の組 `(qᵢ, pⱼ)` または `(xᵢ, pⱼ)` として現れます。

この座標系が「正準」であるとされる一つの重要な特徴は、「正準1形式」（Canonical one-form）と呼ばれる余接バンドル上の微分形式が、この座標系においては `Σᵢ pᵢ dqⁱ` という単純な形で書けることです。正準変換は、この正準1形式を保存するような座標変換として定義されます。この形式は全微分を除いて一意的に定義されます。

運動量函数

多様体 `Q` 上のベクトル場 `X` が与えられると、これは余接バンドル `TQ` 上で定義される実数値関数と考えることができます。接空間と余接空間の双対性を用いて、この関数は `P_X(q, p) = p(X_q)` と定義されます。ここで `(q, p)` は余接バンドル上の点（`q` は基底多様体上の点、`p` は点 `q` における余接ベクトル）であり、`X_q` は点 `q` におけるベクトル場 `X` の値です。この関数 `P_X` は「運動量函数」と呼ばれ、ベクトル場 `X` に対応する運動量を示します。

局所座標系 `qᵢ` を用いると、ベクトル場 `X` は `X_q = Σᵢ Xⁱ(q) ∂/∂qⁱ` と表現できます。このとき、運動量函数 `P_X` は `P_X(q, p) = Σᵢ Xⁱ(q) pᵢ` と書けます。ここで `pᵢ` は、座標方向の偏微分 `∂/∂qⁱ` に対応する運動量函数 `P_{∂/∂qⁱ}` として定義される量です。

このように、`qᵢ` と `pⱼ` は共に余接バンドル `T*Q` 上の座標系を構成し、これらが正準座標と呼ばれる所以です。

一般座標との関係

一方、ラグランジュ力学では「一般座標」と呼ばれる別の座標系が用いられます。これは通常 `(qᵢ, q̇ᵢ)` の形で書かれ、`qᵢ` は一般化位置、`q̇ᵢ` は一般化速度を表します。正準座標 `(qᵢ, pᵢ)` は、余接バンドル上に定義されたハミルトニアンを通じて、一般座標 `(qᵢ, q̇ᵢ)` と関係付けられます。この関係は、ハミルトン・ヤコビ方程式などの解析力学の基本方程式において重要となります。

正準座標の概念は、古典力学だけでなく、量子力学における正準交換関係（ストーン＝フォン・ノイマンの定理に関連）や、ハミルトン力学を一般化したシンプレクティック幾何学など、より高度な物理学や数学の分野にも深く関わっています。

関連項目: シンプレクティック多様体, ハミルトニアン, シンプレクティック同相写像, 運動量

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