バナッハ＝タルスキーのパラドックス

バナッハ＝タルスキーのパラドックスとは

バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、数学における非常に驚くべき定理の一つです。これは3次元空間において、ある球を有限個の断片に分割し、それらの断片を回転と平行移動のみを用いて組み合わせ直すことによって、元の球と全く同じ大きさの球を二つ作り出すことができる、という主張です。

この定理の結論は私たちの日常的な直感や物理的な感覚に反するため、「パラドックス」と呼ばれています。あたかも一つのリンゴを分割して、同じサイズのリンゴを二つに増やすことができるかのように聞こえます。しかし、これは数学的に厳密に証明された定理であり、パラドックスという名称は、その結果が非常に直感に反するものであることを強調するために用いられています。

定理の主張と分割合同

この定理は、「球はそれ自身と同じ球二つと分割合同である」と表現することもできます。ここでいう「分割合同」とは、二つの集合AとBが、それぞれ有限個の互いに交わらない部分集合$A_1, ..., A_n$と$B_1, ..., B_n$の合併として表すことができ、かつ、全ての$i$について$A_i$と$B_i$が合同（つまり、回転や平行移動によって重ね合わせることができる）である場合に成立します。

さらに、この定理からは、より広範な主張が導かれます。それは、3次元ユークリッド空間において、内部が空でない（つまり、つぶれていない）任意の二つの有界な集合は、互いに分割合同であるというものです。これは、例えば小さなビー玉を有限個に分割して組み替えるだけで、月と同じ形・大きさの塊を作り出せる（材質は変わりませんが）、という驚くべき帰結を意味します。

数学的な背景：選択公理と非可測集合

なぜこのような「魔法」のようなことが数学の世界で起こりうるのでしょうか？ その鍵の一つは、この定理の証明において選択公理が本質的に利用されることです。選択公理は集合論における基本的な公理の一つであり、無限集合に関する議論でしばしば直感に反する結果をもたらします。

バナッハ＝タルスキーのパラドックスにおける「断片」は、この選択公理を用いて構成される非常に特殊な集合です。具体的には、これらの断片はルベーグ可測ではない、すなわち、通常の意味で体積を定義できない集合です。私たちが物理的に物体を分割する場合、得られる断片は通常、明確な形と体積を持ちます。しかし、この定理で扱われる断片は、点集合論的に構成される極めて複雑な構造を持つため、物理的な分割によって得られるようなものではありません。したがって、このパラドックスが「現実世界でリンゴを増やす」ことを可能にするわけではないのです。定理が主張するのは、あくまで抽象的な数学的空間における点集合の操作の結果です。

次元と関連するパラドックス

バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、3次元以上の全ての次元空間で成り立ちます。しかし、2次元のユークリッド平面においては、合同変換（回転と平行移動）だけではこのパラドックスは成立しません。

ただし、2次元においても分割に関する興味深いパラドックスは存在します。例えば、タルスキーの円積問題として知られる定理は、円を有限個の部分に分割し、組み替えることで、元の円と同じ面積を持つ正方形を作り出すことができるというものです。これはバナッハ＝タルスキーのパラドックスとは異なり、各断片が面積を保つ変換によって対応づけられるという条件の下で成立します。また、合同変換に限定しない場合、2次元でも面積を保つ有限個の分割合同によって任意の二つの有界な集合を対応づけられることがジョン・フォン・ノイマンによって証明されています。

バナッハ＝タルスキーの証明は、先行するハウスドルフのパラドックス（球面上の点集合に関するもの）を援用しており、この分野の研究の発展に貢献しました。

証明の概要

バナッハ＝タルスキーのパラドックスの証明はいくつかの主要なステップから構成されます。まず、二つの生成元を持つ自由群という抽象的な群が持つ「パラドキシカルな分割」を見つけます。これは、群全体を有限個の集合に分割し、それぞれを群の元で「掛け合わせる」（操作を施す）ことで、元の群全体を再現できるという性質です。次に、3次元空間における特定の回転群が、この自由群と同型であることを見出します。これにより、回転群にも同様のパラドキシカルな分割が存在することが分かります。この回転群の分割と選択公理を利用して、球面の点集合をパラドキシカルに分割します。最後に、この球面の分割を、球全体（ただし中心点は除く）の分割へと拡張することで定理が証明されます。

この定理は、数学の基礎、特に集合論と測度論、そして幾何学における直感と厳密な論理の間の深い乖離を示す象徴的な例として、多くの数学者や哲学者の関心を集めています。

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