バラエティ (普遍代数学)

代数のバラエティと余バラエティ

代数のバラエティ（Variety）、または等式クラスとは、普遍代数学において特定の恒等式を満たす代数的構造の集合を示します。これらの構造は、共通のシグネチャを持っており、群、アーベル群、環、モノイドなどがこれに該当します。バーコフの定理によれば、同一のシグネチャをもつ代数的構造がバラエティであるためには、同型写像の像、部分代数、直積といった操作に対して閉じている必要があります。圏論の視点からは、同型写像を持つ代数のバラエティは圏を形成し、一般には有限項代数的圏と呼ばれています。また、余バラエティは特定のシグネチャを持つすべての余代数的構造を集めたものと定義されます。

用語の明確化

代数のバラエティは、必ずしも代数多様体として知られる多項式系の解集合と混同すべきではありません。これらは形式的に異なり、共通する概念は非常に限られています。代数のバラエティという用語は、実際には普遍代数に関連し、特に双線型積を備えたベクトル空間のような具体的な構造も含んでいます。

定義

ここで言うシグネチャは、演算を含む要素の集合であり、各要素にはアリティ（自然数）が付与されています。任意のシグネチャ σ と集合 V（V の要素は変数と呼ばれる）があった場合、語は有限な平面上の根付き木として定義され、各節は変数か演算でラベル付けされます。等式則はこのような語の組を示し、例えば v と w の組からなる公理を v = w と表記します。理論はシグネチャ、変数の集合、等式則の集合から構成され、どの理論も代数のバラエティを持ちます。

代数のクラスと準同型

特定の理論 T に基づく代数 A は、シグネチャに基づく操作者と自然数のアリティを用いて定義されます。さらには、A の各要素 v, w に対して、演算および公理がどのように定義されるかが重要です。特に、準同型は代数 A から B への関数であり、特定の条件を満たすことが求められます。

具体例

半群のクラスはシグネチャ (2) の代数のバラエティを形成し、この場合の演算は一つの二項演算に基づきます。結合法則を示す等式は x(yz) = (xy)z です。また、群のクラスはシグネチャ (2,0,1) であり、具体的には乗算、単位元、逆元を含みます。代表的な等式には結合法則、単位元、逆元の条件が含まれます。

環のクラスも同様に、シグネチャが (2,2,0,0,1) である代数のバラエティを形成します。ここで、特定の環 R に対して左 R 加群を考慮することができます。環が無限であれば、無限の演算が必要になりますが、普遍代数の枠内ではこれは許されています。したがって、左 R 加群も代数のバラエティを構成します。

バーコフの定理

同じシグネチャをもつ代数的構造のクラスにおいて、準同型、部分代数、直積の概念を定義することが可能です。ガレット・バーコフは、これらの構造がこれらの操作に対して閉じたときにバラエティであることを証明しました。この結果はバラエティである基盤の理論的な支柱です。

部分バラエティの特徴

バラエティの部分バラエティは、同一のシグネチャを持つ部分類であり、これもまたバラエティである必要があります。群が持つ逆元や単位元の条件を取り除くと半群が形成されますが、これらの関係性において部分バラエティではないことにも注意が必要です。具体的に言うと、アーベル群のクラスは群の部分バラエティに該当しますが、有限生成アーベル群の類はその直積が有限生成でないため、バラエティに含まれません。

自由対象の概念

自明でない代数のバラエティにおいては、自由代数 F_S を含むことが示されます。この自由性は、与えられた集合 S に対してバラエティ V 内に異なる代数 A との間に自然な準同型が存在することを示します。この概念は、自由群や自由アーベル群など、他の代数的構造の一般化として理解することができます。どの操作者の影響をも受けず、独立した代数の構造を考えられることが本研究の意義です。

このように、代数のバラエティと余バラエティは、代数的構造の理解において重要な役割を果たす概念であり、様々な数学的理論において共通の基礎を構築しています。

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