バローの不等式

バローの不等式

バローの不等式は、幾何学の分野における重要な不等式の一つです。主に三角形やより一般的な凸多角形を対象とし、その内部にある任意の点から各頂点への距離の合計と、その点から特定の線分（角の二等分線の一部）に沿って辺までの距離の合計との間に成り立つ関係を示しています。この不等式は、イギリスの数学者デヴィッド・フランシス・バローの名が冠せられています。

三角形における主張

まず、最も基本的な形である三角形の場合について述べます。任意の三角形ABCを考え、その内部に任意の点Pを取ります。点Pから三角形の各頂点A, B, Cへの距離をそれぞれPA, PB, PCとします。

次に、点Pを中心として、各頂点A, B, Cによって挟まれる角、すなわち∠BPC, ∠CPA, ∠APBそれぞれの二等分線を引きます。これらの二等分線が、それぞれ対応する辺BC, CA, ABと交わる点をU, V, Wとします。

バローの不等式が主張するのは、このとき以下の関係が成り立つということです。

`PA + PB + PC ≥ 2(PU + PV + PW)`

ここで、PU, PV, PWはそれぞれ点Pから点U, V, Wへの距離です。

この不等式において等号が成り立つのは、元の三角形ABCが正三角形であり、かつ点Pがその三角形の中心（重心、外心、内心などが一致する点）にある場合に限られます。

多角形への一般化

バローの不等式は、三角形だけでなく、より一般的な凸n角形へと拡張することができます。頂点が順に A₁, A₂, ..., Aₙ であるような任意の凸n角形を考え、その内部に任意の点Pを取ります。

三角形の場合と同様に、点Pから各頂点 Aᵢ への距離 PAᵢ を考えます。また、点Pを中心として隣り合う頂点 Aᵢ, Aᵢ₊₁ (ただし A_{n+1} = A₁ とする)によって挟まれる角 ∠AᵢPAᵢ₊₁ の二等分線を引きます。この二等分線が辺 AᵢAᵢ₊₁ と交わる点を Qᵢ とします。

このとき、一般化されたバローの不等式は以下の形で表されます。

`Σ |PA_k| ≥ sec(π/n) Σ |PQ_k|` (総和は k=1 から n まで)

ここで、|PA_k| は点Pから頂点 A_k までの距離、|PQ_k| は点Pから点 Q_k までの距離を示します。また、sec(x) は三角関数の一つである正割関数です。

この一般化された不等式において、n=3（つまり三角形の場合）を代入してみましょう。sec(π/3) = 2 となるため、式は `Σ |PA_k| ≥ 2 Σ |PQ_k|` となり、これはまさに前述の三角形に関するバローの不等式`PA + PB + PC ≥ 2(PU + PV + PW)` に他なりません。

歴史的背景

バローの不等式は、古くから知られる有名なエルデシュ・モーデルの不等式と比較されることがあります。興味深いことに、バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式よりも強力な関係を示しています。

この不等式が初めて登場したのは、1937年のことです。デヴィッド・フランシス・バローがエルデシュ・モーデルの不等式の証明に関連して、アメリカの数学専門誌「The American Mathematical Monthly」に発表した論文の中で提示されました。「バローの不等式（Barrow's inequality）」という名称が使われ始めたのは、遅くとも1961年以前のこととされています。

この不等式の証明に関しては、後に数学者ルイス・モーデル（エルデシュ・モーデルの不等式に関わる人物）によって、より簡潔で分かりやすい方法が見出されました。

バローの不等式は、幾何学における距離と角度の二等分線に関する深い洞察を提供する、意義深い結果の一つと言えます。

関連する概念には、オイラーの定理や、様々な三角形に関する不等式が挙げられます。

もう一度検索