パップス円鎖

パップス円鎖は、幾何学において、古代ギリシャの数学者であるアレクサンドリアのパップスにその名を冠する特別な円の配置を指します。これは、互いに接する2つの円が作る「アルベロス」と呼ばれる領域に、無限に連なるように配置された円の列です。

構成

パップス円鎖は、まず「アルベロス」と呼ばれる基礎となる図形の中で構成されます。アルベロスは、互いに内接または外接する大小2つの円（便宜上CUとCVとします）によって囲まれた領域として定義されます。例えば、大きな円CUの内側に、それに接する小さな円CVがあり、これら二つの円が共通の直径上の同じ点で接している場合などが考えられます。CUとCVはそれぞれ中心をU, V、半径をrU, rVとします。

パップス円鎖を構成する各円（Cn、nは円の順序を示す自然数）は、このアルベロス図形内の特定の場所に配置されます。具体的には、円Cnは、アルベロスを形成する大きな円CUには内側から接し、小さな円CVには外側から接します。さらに、円鎖を成す円は、その列の中で両隣にある円（Cn-1とCn+1）とも互いに接しています。このようにして、アルベロス内に無限に続く円の列が形成されるのがパップス円鎖です。円鎖の「0番目」の円C0は、アルベロスを構成する円の中心UとVを通る直線上に中心を持つものとして定義されることがあります。

性質

中心点の軌跡

パップス円鎖を構成する各円の中心点Pnは、すべて同一の楕円の周上に位置するという注目すべき性質を持っています。この楕円の焦点は、アルベロスを構成する2つの円CUとCVの中心点UとVに一致します。楕円の定義によれば、楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は常に一定です。パップス円鎖の中心点Pnについても、PnからUまでの距離とPnからVまでの距離の和が、常にアルベロスの構成円の半径の和（rU + rV）に等しくなります。これは、円PnがCUに内接し、CVに外接するという条件から導かれる幾何学的な関係です。

半径と座標

パップス円鎖を成す各円Cnの半径rnやその中心点Pnの座標は、アルベロスを構成する2つの円の半径比によって一意に決定されます。これらの値は、円の順序を示す番号nやアルベロスの構成円の半径に基づいて算出される特定の数式で表現できます。例えば、アルベロスの共通直径上の端点をA, Bとし、CVがCU内で接する点をCとすると、線分ACとABの長さの比によって、円鎖内の任意の円の半径や位置を計算することが可能です。

反転幾何学による理解

パップス円鎖の多くの性質は、「反転」と呼ばれる幾何学的な変換を用いることで、より直感的に理解できるようになります。アルベロスの特定の点（例えばアルベロスを構成する大円の共通直径の一端A）を中心とした反転変換を施すと、アルベロスを構成する2つの円CUとCVは、互いに平行な2つの直線へと変換されます。驚くべきことに、この反転変換によって、パップス円鎖を構成する無限の円列Cnは、これらの平行線に挟まれた、すべて同じ直径を持つ無限の円列へと写像されます。この変換された図形では、円の中心から平行線の中央線までの距離が、円の番号に比例することが容易に見て取れます。これを元の図形に戻すと、パップス円鎖の各円の中心点とアルベロスの基準線（例えば共通直径を含む直線）との距離が、その円の直径の特定の倍数（具体的には円の番号に依存する）になることが示されます。また、隣接する円同士の接点がすべて同一円周上にあるといった他の性質も、この反転変換を用いることで証明されます。

シュタイナー円鎖との関係

パップス円鎖は、より広い概念である「シュタイナーの円鎖」の特別な場合と見なすことができます。シュタイナーの円鎖は、互いに内側または外側で接する2つの円の両方に接しながら一周するように配置された円の列です。パップス円鎖は、シュタイナーの円鎖を構成する2つの基礎円が、極限まで近づいて互いに一点で接するようになった場合に現れる図形と言えます。

パップス円鎖