反転幾何学
反転幾何学は、初等幾何学における重要な概念である「反転変換」を中心に展開される分野です。特に平面幾何学において、ある基準となる円を基にした特別な変換が、図形のもつ幾何学的な性質をどのように変えず、またどのように変えるかを研究対象とします。この変換は、角度の大きさを保つという特徴（等角性）を持ち、さらに一般的な円（無限遠点を考慮した直線も含む）をやはり一般的な円へと写す性質があります。複雑に見える幾何学的な問題が、反転変換を適用することで驚くほど単純化されることも少なくありません。また、この概念は二次元に限らず、高次元空間へと自然に拡張することができます。
平面上の反転変換
平面上の一点Oを中心とし、半径rを持つ基準円を考えます。この基準円に関して、中心Oとは異なる任意の点Pを反転させた点P'は、Oを始点としてPを通る半直線上にあり、かつ$OP \times OP' = r^2$という関係を満たします。この定義から、P'を再度反転させると元の点Pに戻るため、反転変換は自分自身が逆変換となる「対合」と呼ばれる性質を持ちます。反転変換をすべての点に対して定義するためには、ユークリッド平面に「無限遠点」という特別な点を付け加える必要があります。これにより、基準円の中心Oと無限遠点が互いに入れ替わるように変換が拡張されます。結果として、基準円の内側の点は外側へ、外側の点は内側へ移り、基準円の周上の点は変わりません。中心Oに近い点は反転によって非常に遠くへ写され、逆にOから遠い点は近くに写されるという直感的なイメージが得られます。
反転変換の性質
点集合の反転は、その集合を基準円で分割した部分ごとの反転結果を合わせたものとなります。反転変換に関して特に重要な性質がいくつかあります。
基準円の中心を通る円は、基準円の中心を通らない直線に変換され、その逆も成り立ちます。基準円の中心を通る直線は、反転しても自分自身に写ります。
基準円の中心を通らない円は、反転しても基準円の中心を通らない円に写ります。ただし、元の円と基準円の交点は反転後も変わりません。円や直線が反転変換によって不変であるのは、それが基準円と交点において直交する場合に限られます。
二つの異なる点A, A'を通る円qが、基準円kに関する反転でAとA'を入れ替える場合、円kと円qは互いに直交します。
円kの中心Oを一つの頂点とする三角形OABにおいて、A, Bのkに関する反転点をそれぞれA', B'とすると、角OABと角OB'A'が等しく、角OBAと角OA'B'が等しくなります。
反転変換は角度の大きさを保ちますが、有向角の向きは反転します。この性質から、反転変換は「反等角写像」または「反共形写像」と呼ばれます。
応用例
反転変換は、幾何学の問題を解く上で非常に有効な手段となります。
ある円の中心、その円を反転して得られる円の中心、そして基準円の中心は常に同一直線上に並びます。この事実は、三角形の内接円に関する特定の幾何学的な性質を証明するのに役立ちます。
交わらない二つの円は、適切な基準円に関する反転によって、同心円に変換することができます。また、合同な二つの円に変換することも可能です。
直線運動を円運動に変換するポースリエリンク機構は、円反転の原理を機械的に実現した例として知られています。
高次元への拡張と関連分野
平面幾何学における反転は、三次元空間における球面反転、さらにはn次元空間における超球面に関する反転へと一般化されます。n次元空間の点xに対して、中心を原点、半径をrとする基準超球面に関する反転変換は、点xを$r^2 x / \|x\|^2$で定義される点に写します。高次元においても、超球面は超球面に、超平面は超球面に（またはその逆）写るという性質が成り立ちます。球面反転の特別な場合として、地図学などにも応用される立体射影があります。
反転幾何学は、ユークリッド平面に無限遠点を加えて得られるメビウス平面の概念にもつながります。メビウス平面は公理的に定義でき、有限幾何学や無限幾何学の研究対象となります。リーマン球面は、複素数平面に無限遠点を加えたもので、メビウス平面の一つのモデルです。
また、複素数を用いて平面上の点を表現すると、単位円に関する反転は$z \mapsto 1/\bar{z}$という代数的な形で表すことができます。この「逆数変換」は、平行移動や回転と共に、メビウス変換群の生成元となります。反転幾何学は、これらの変換群と関連付けられ、19世紀後半にクラインが提唱したエルランゲン目録における幾何学の捉え方にも影響を与えました。
双曲幾何学の分野においても、反転幾何学は重要な役割を果たします。単位球面（または単位円板）に直交する超球面（または円）に関する反転は、単位球面（または円板）自体を不変に保ち、内部の点を内部に、外部の点を外部に写します。このような反転は、双曲幾何学のポアンカレ円板模型における鏡映変換として機能し、この模型上の等距変換群を生成します。これにより、円板模型上での角度が双曲空間での角度と等しいことが保証されます。
このように、反転幾何学はそれ自体が豊かな構造を持つだけでなく、初等幾何学の問題解決から、高次元幾何学、複素解析、非ユークリッド幾何学といった多様な分野と深く結びついています。
平面上の反転変換
平面上の一点Oを中心とし、半径rを持つ基準円を考えます。この基準円に関して、中心Oとは異なる任意の点Pを反転させた点P'は、Oを始点としてPを通る半直線上にあり、かつ$OP \times OP' = r^2$という関係を満たします。この定義から、P'を再度反転させると元の点Pに戻るため、反転変換は自分自身が逆変換となる「対合」と呼ばれる性質を持ちます。反転変換をすべての点に対して定義するためには、ユークリッド平面に「無限遠点」という特別な点を付け加える必要があります。これにより、基準円の中心Oと無限遠点が互いに入れ替わるように変換が拡張されます。結果として、基準円の内側の点は外側へ、外側の点は内側へ移り、基準円の周上の点は変わりません。中心Oに近い点は反転によって非常に遠くへ写され、逆にOから遠い点は近くに写されるという直感的なイメージが得られます。
反転変換の性質
点集合の反転は、その集合を基準円で分割した部分ごとの反転結果を合わせたものとなります。反転変換に関して特に重要な性質がいくつかあります。
基準円の中心を通る円は、基準円の中心を通らない直線に変換され、その逆も成り立ちます。基準円の中心を通る直線は、反転しても自分自身に写ります。
基準円の中心を通らない円は、反転しても基準円の中心を通らない円に写ります。ただし、元の円と基準円の交点は反転後も変わりません。円や直線が反転変換によって不変であるのは、それが基準円と交点において直交する場合に限られます。
二つの異なる点A, A'を通る円qが、基準円kに関する反転でAとA'を入れ替える場合、円kと円qは互いに直交します。
円kの中心Oを一つの頂点とする三角形OABにおいて、A, Bのkに関する反転点をそれぞれA', B'とすると、角OABと角OB'A'が等しく、角OBAと角OA'B'が等しくなります。
反転変換は角度の大きさを保ちますが、有向角の向きは反転します。この性質から、反転変換は「反等角写像」または「反共形写像」と呼ばれます。
応用例
反転変換は、幾何学の問題を解く上で非常に有効な手段となります。
ある円の中心、その円を反転して得られる円の中心、そして基準円の中心は常に同一直線上に並びます。この事実は、三角形の内接円に関する特定の幾何学的な性質を証明するのに役立ちます。
交わらない二つの円は、適切な基準円に関する反転によって、同心円に変換することができます。また、合同な二つの円に変換することも可能です。
直線運動を円運動に変換するポースリエリンク機構は、円反転の原理を機械的に実現した例として知られています。
高次元への拡張と関連分野
平面幾何学における反転は、三次元空間における球面反転、さらにはn次元空間における超球面に関する反転へと一般化されます。n次元空間の点xに対して、中心を原点、半径をrとする基準超球面に関する反転変換は、点xを$r^2 x / \|x\|^2$で定義される点に写します。高次元においても、超球面は超球面に、超平面は超球面に（またはその逆）写るという性質が成り立ちます。球面反転の特別な場合として、地図学などにも応用される立体射影があります。
反転幾何学は、ユークリッド平面に無限遠点を加えて得られるメビウス平面の概念にもつながります。メビウス平面は公理的に定義でき、有限幾何学や無限幾何学の研究対象となります。リーマン球面は、複素数平面に無限遠点を加えたもので、メビウス平面の一つのモデルです。
また、複素数を用いて平面上の点を表現すると、単位円に関する反転は$z \mapsto 1/\bar{z}$という代数的な形で表すことができます。この「逆数変換」は、平行移動や回転と共に、メビウス変換群の生成元となります。反転幾何学は、これらの変換群と関連付けられ、19世紀後半にクラインが提唱したエルランゲン目録における幾何学の捉え方にも影響を与えました。
双曲幾何学の分野においても、反転幾何学は重要な役割を果たします。単位球面（または単位円板）に直交する超球面（または円）に関する反転は、単位球面（または円板）自体を不変に保ち、内部の点を内部に、外部の点を外部に写します。このような反転は、双曲幾何学のポアンカレ円板模型における鏡映変換として機能し、この模型上の等距変換群を生成します。これにより、円板模型上での角度が双曲空間での角度と等しいことが保証されます。
このように、反転幾何学はそれ自体が豊かな構造を持つだけでなく、初等幾何学の問題解決から、高次元幾何学、複素解析、非ユークリッド幾何学といった多様な分野と深く結びついています。
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