ファイバー (数学)

ファイバー (fiber, fibre) の意味

数学において、「ファイバー」という用語は、文脈によって2つの異なる意味を持っています。これらは、素朴集合論におけるファイバーと代数幾何学におけるファイバーです。以下では、それぞれの意味について詳しく説明します。

1. 素朴集合論におけるファイバー

素朴集合論では、写像 f: X → Y が与えられたとき、元 y ∈ Y に対するファイバーは、元 y の単元集合 {y} に対する f の逆像として定義されます。具体的には次のように表されます。

$$
f^{-1}( ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{}}}}} ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{y}}}}})= ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{{}}}}}} ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{x}}}}} ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{|}}}}} ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{f}}}}}( ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{x}}}}})= ext{{ootnotesize exttt{{ extbf{y}}}}}
$$

ここで、f^{-1}(y)と記述することもあります。このファイバーは、様々な応用によって以下のようにも呼ばれます。

• - 写像 f による {y} の逆像
• - 写像 f による {y} の原像
• - 点 y における関数 f の等位集合。

なお、「等位集合」という用語は、f が実数値のとき、y が単なる数値の場合に使用されます。f が連続関数であり、y が f の像に属している場合、y に対する等位集合は、通常、2次元空間の曲線や3次元空間の曲面、一般的には d−1 次元の超曲面として表現されます。

2. 代数幾何学におけるファイバー

代数幾何学においては、f: X → Y がスキームの射の場合、Y の点 p におけるファイバーは、ファイバー積により定義されます。このファイバーは次のように表されます。

$$
X imes_{Y} ext{{ootnotesize exttt{Spec}} ext{{ootnotesize exttt{k(p)}}}}
$$

ここで k(p) は点 p の剰余体を意味します。このように、代数幾何学の文脈ではファイバーの定義が異なる理由は、すべての点が閉ではない場合があるためです。

用語の使い方に関する注意

「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」といった用語の使い方に関して推奨される表現は次の通りです。

• - 元 y に対するファイバー
• - 集合 {y} の逆像
• - 集合 {y} の原像
• - 関数 f の点 y における等位集合。

これに対し、避けるべき表現には、元 y におけるファイバーや逆像、原像、等位集合などがあります。これらの誤用は、用語の理解を困難にする可能性があります。

例

例えば、実関数 f を次のように定義します。
f: ℝ → ℝ, x ↦ x²

ここで、y を実数とした場合、y のファイバーは次のようになります。

• - y > 0 のとき、y のファイバーは二元集合 {√y, −√y} です。
• - y = 0 の場合、y のファイバーは単元集合 {0} です。
• - y < 0 のとき、y のファイバーは空集合です。

このように、ファイバーという概念は数学のさまざまな分野で特別な役割を果たしており、それぞれの文脈に応じて適切に理解される必要があります。

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