ファインマン・ダイアグラム

ファインマンダイアグラム：素粒子の相互作用を解き明かす図式

ファインマンダイアグラムは、素粒子間の相互作用を視覚的に表現する図式であり、場の量子論における摂動計算の基盤となっています。複雑な計算を図解することで、素粒子の振る舞い、反応過程を直感的に理解しやすくします。このダイアグラムは、ノーベル物理学賞受賞者であるリチャード・ファインマンによって提唱された手法に基づいており、量子電磁力学をはじめとする様々な分野で広く活用されています。

ダイアグラムの構成要素

ファインマンダイアグラムは、いくつかの基本的な要素から構成されます。

頂点 (vertices): 粒子間の相互作用を表す点です。ラグランジアン（系の物理的性質を記述する関数）の相互作用項に対応し、結合定数という物理量で特徴づけられます。
線 (lines): 素粒子の伝搬を表します。線の種類、向きによって粒子と反粒子、粒子の種類を区別します。矢印の向きは粒子の時間発展方向を示す場合と、粒子の種類（粒子と反粒子）を示す場合があります。
外線 (external lines): 頂点から出て、ダイアグラムの外へ伸びる線です。反応の始状態と終状態の粒子を表します。
内線 (internal lines): 頂点から出て、別の頂点に入る線です。反応過程における仮想粒子（観測されない粒子）を表します。仮想粒子は質量殻条件（エネルギーと運動量の間に成り立つ関係式）を満たしません。
* 時間軸: 時間軸のあるダイアグラムでは、縦軸が時間を表し、粒子の時間発展を示します。時間軸のないダイアグラムでは、時空における全ての点での相互作用を表すため、時間軸を指定した複数の過程を表すことになります。

摂動論

ファインマンダイアグラムを用いた計算は、摂動論に基づいています。始状態と終状態（外線）を決めると、無限個の頂点と内線を持つダイアグラムが考えられます。しかし、現実的な計算のためには、頂点の数を有限個に制限します。この近似手法が摂動論です。頂点の数を増やすほど、計算は複雑になりますが、より精密な結果が得られます。

ファインマンルール

ファインマンルールは、ラグランジアンからファインマンダイアグラムの各要素（頂点、外線、内線）に物理量を対応させる規則です。これらの物理量（多くの場合、ベクトル、テンソル、スピノルなど）をかけ合わせて積分することで、S行列（反応の確率振幅）を計算します。S行列から、粒子の崩壊率、寿命、断面積などの観測可能な物理量が導き出されます。ファインマンルールには、座標空間でのルールと運動量空間でのルールの2種類があり、相互作用の種類によって異なるルールが用いられます。

ファインマンルールを用いたS行列の計算

ファインマンルールを用いたS行列の計算は、以下の手順で行われます。

1. 求める摂動の次数に対応する頂点を持つ全てのファインマンダイアグラムを書き出します。
2. ファインマンルールに従い、各要素に対応する因子をかけ合わせます。
3. 座標空間の場合は頂点の座標、運動量空間の場合は内線の運動量について積分を行います。
4. ダイアグラムに対称性がある場合は、対称性の度合いで割ります（対称因子）。
5. フェルミオンの場合、反交換関係による符号を考慮します。
6. 全てのダイアグラムの寄与を足し合わせます。

中性子のベータ崩壊：具体的な例

中性子のベータ崩壊は、ファインマンダイアグラムを用いて説明できる代表的な例です。ダウンクォークがアップクォークに変換する際にW-ボゾンを放出し、W-ボゾンは電子と反電子ニュートリノに崩壊します。この過程は、ファインマンダイアグラムによって視覚的に表現され、計算によって崩壊率などの物理量が導き出されます。時間軸の取り方によって、始状態と終状態の表現が変化することに注意が必要です。

関連概念

ファインマンダイアグラムと関連の深い概念として、繰り込み、真空偏極、頂点関数、ファインマンパラメータ積分などが挙げられます。これらの概念は、場の量子論におけるより高度な計算や理解に必要となります。

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