ファルティングスの定理

モーデル予想（ファルティングスの定理）

概要

モーデル予想は、1922年にイギリスの数学者ルイ・モーデルによって提示された、数論における重要な未解決問題でした。この予想は、有理数体のような数体上で定義された代数曲線のうち、ある特定の幾何学的性質（具体的には「種数が1より大きい」という条件）を持つものが、その数体上に無限に多くの点を持つことはなく、その点の数は有限であることを主張しています。当初は有理数体上の曲線に関する予想でしたが、後に任意の数体上の曲線へと一般化されました。

この予想は長らく証明されずにいましたが、1983年にドイツの数学者ゲルト・ファルティングスによって解決されました。その功績を称え、現在では一般に「ファルティングスの定理」として知られています。

背景：代数曲線の有理点

代数曲線Cが数体k上で定義されているとき、その曲線上のk-有理点の集合（座標が数体kの元であるような点の集まり）の構造は、曲線の種数gという非負の整数によって大きく異なることが知られています。

種数g=0の場合: この場合、曲線は円錐曲線と同型になります。有理点が存在すれば、そこから無限に多くの有理点を生成でき、結果として有理点の集合は無限個となります。

種数g=1の場合: この場合、曲線は楕円曲線などと呼ばれる形状を持ちます。有理点が存在しないこともありますが、存在する場合は、その有理点全体がある種の有限生成アーベル群を構成します（これはモーデルの定理として知られ、後にモーデル・ヴェイユの定理として数体上に一般化されました）。したがって、有理点の数は有限生成群のランクがゼロの場合（捩れ点のみの場合）を除いて無限になり得ますが、その構造は比較的よく理解されています。

種数g>1の場合: これがモーデル予想が関わるケースです。この種の曲線については、直感的には「穴が多い」あるいは「複雑な形状」をしていると言えます。モーデルはこの場合について、有理点の数は常に有限個にしかならないと予想しました。ファルティングスの定理はこの予想が正しいことを証明しました。

証明と関連する重要な結果

ファルティングスによる1983年の証明は、当時の数学界に大きな影響を与えました。彼の証明は、テイト予想の特定のケースへの帰着や、アベラ多様体やネロンモデルの理論など、高度な代数幾何学や数論的手法を駆使するものでした。

彼の証明は、それ自体が数論におけるいくつかの重要な予想を帰結として導くものでした。主なものとして以下が挙げられます：

シャファレビッチ予想: 定められた数体といくつかの条件（偏極次数や良い還元を持つ座の集合など）を満たすアーベル多様体の同型類は有限個しか存在しないという主張です。

* 同種定理: ある特定の性質（ガロア加群としてのテイト加群が同型であること）を満たすアーベル多様体は、互いに同種であるという主張です。

数学者パルシンは、モーデル予想がシャファレビッチ予想から導かれることを既に示していました。したがって、ファルティングスはシャファレビッチ予想を証明することで、連鎖的にモーデル予想を解決したのです。

ファルティングスの元の証明とは全く異なるアプローチも後に登場しました。ポール・ヴォイタはディオファントス近似の理論に基づいて別の証明を与え、エンリコ・ボンビエリはヴォイタの証明をより初等的に解説しました。

定理の応用と一般化

ファルティングスの定理の一つの有名な応用例として、フェルマーの最終定理の弱い形があります。特定の指数（例えばn>4）を持つフェルマー方程式 $a^n + b^n = c^n$ の整数解を探す問題は、曲線 $x^n + y^n = 1$ の有理点を探す問題に帰着できます。n>4の場合、この曲線は種数が1より大きいため、ファルティングスの定理により有理点（したがって整数解）は有限個しか存在しないことが直ちに導かれます。ただし、フェルマーの最終定理自体（解が非自明な場合は存在しないこと）の証明には、より深い岩澤理論やp-進モジュラー形式の理論が必要です。

ファルティングスの定理は、さらに一般的な予想へと発展・一般化されています。例えば、モーデル・ヴェイユの定理を背景として、アーベル多様体の部分多様体と有限ランクの部分群の交点に関するモーデル・ラング予想が定式化されました。また、曲線からより高次元の代数多様体への拡張として、一般型の多様体上の有理点に関するボンビエリ・ラング予想などがあります。さらに、ヴォイタはこれらの予想を包含するより一般的な予想を提示しています。

数体上の結果とは別に、関数体上のモーデル予想は、ファルティングスによる証明よりも以前に、ユーリ・マニンやハンス・グラウエルトによって独立に証明されていました。

実効性の問題と計算可能な手法

ファルティングスの定理は、種数1より大きい曲線上の有理点の数が有限であることを保証しますが、その証明は「非実効的」です。つまり、証明手法からは有理点が具体的に何であるかを決定するための一般的なアルゴリズムは得られません。証明の過程で、有理点の個数の上界を示すことはできる場合もありますが、有理点の座標の大きさに対して具体的な上界を与えるものではないため、この定理単独で全ての有理点をリストアップすることはできません。

しかし、特定の条件下で全ての有理点を具体的に決定するための「有効な」手法も存在します。クリフォード・シャボーティによって開発され、後にロバート・コールマンによって発展させられた「シャボーティ・コールマン法」は、曲線のヤコビ多様体の階数が小さい場合など、特定の条件下で非常に強力なツールとなります。この手法を用いることで、有理点の個数や大きさに具体的な上界を与えることができ、場合によっては全ての有理点を決定することが可能になります。

この有効な手法を用いた具体的な成果もいくつか得られています。例えば、ある特定の代数曲線上の有理点が数個しかないことが、グラントによって具体的に示されました。また、近年の研究では、日本の数学者である平川義之輔氏と松村英樹氏が、辺の長さが整数の直角三角形と二等辺三角形のペアで、周長と面積が両方とも一致するものは、相似を除くと特定の唯一の組み合わせ（3辺が(377, 135, 352)の直角三角形と(366, 366, 132)の二等辺三角形）しか存在しないことを、このシャボーティ・コールマン法を用いて証明しています。

結論

モーデル予想、すなわちファルティングスの定理は、代数曲線上の有理点の分布に関する基本的な性質を明らかにした画期的な成果です。種数という幾何学的な不変量が有理点の振る舞いに決定的な影響を与えることを示し、その後の数論、特にディオファントス幾何学の進展に計り知れない影響を与えています。

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