有理点

有理点

数論の分野において、「有理点」とは、ある空間内に位置する点の各座標値がすべて有理数であるような点を指します。例えば、2次元平面上の点 (3, −67/4) を考えてみましょう。この点のx座標である 3 は有理数であり、y座標である −67/4 も有理数です。したがって、この点 (3, −67/4) は2次元空間における有理点であると言えます。

有理点の特別な場合として、「整数点」があります。これは、点のすべての座標値が整数であるような点のことです。例えば、3次元空間の点 (1, −5, 0) は、各座標が全て整数であるため、整数点です。整数点は、座標が全て有理数である有理点の定義を満たしているため、有理点の一種でもあります。

さらに一般的に、Kを任意の数学的な「体」（例えば有理数体、実数体、複素数体など）としたときに、「K-有理点」という概念が定義されます。これは、点の各座標値がすべて体Kに属するような点を指します。同様に、K-有理点の中で、各座標値が数体K内の「代数的整数環」の元であるような点を「K-整数点」と呼びます。

代数多様体上の有理点・K-有理点

「代数多様体」とは、多項式方程式の解集合として定義される図形のようなものです。体K上で定義された代数多様体Vを考えるとき、その上のK-有理点はどのように定義されるでしょうか。

もしVが「アフィン多様体」、つまり係数がKに属する有限個の多項式方程式 $f_j(x_1, \dots, x_n) = 0 \quad (j=1, \dots, m)$ の共通解の集合であるとすると、VのK-有理点Pは、体Kに属する数からなるn個の順序組 $(x_1, \dots, x_n)$ であって、これらがすべての方程式を同時に満たすものとなります。より一般の多様体の場合、そのK-有理点は、多様体のアフィン開部分集合上のK-有理点として定義されます。

Vが射影空間 $\mathbb{P}^n$ の中で、係数がKに属する斉次多項式 $f_1, \dots, f_m$ によって定義される「射影的多様体」である場合、VのK-有理点は射影空間内の点 $[x_0 : \dots : x_n]$ で、すべての座標 $x_i$ がKに属し、かつ全ての方程式 $f_j=0$ を満たすものとして定義されます。

文脈上誤解がない場合や、特に体Kが有理数体である場合には、K-有理点を単に「有理点」と呼ぶことが一般的です。

数学研究における有理点

楕円曲線のような代数多様体上の有理点は、現代数論における非常に活発な研究分野の一つです。特に、「アーベル多様体」と呼ばれる特別な多様体Aの上では、そのK-有理点の全体は「群」という代数的な構造を形成します。Kが数体（例えば有理数体や代数拡大体）の場合には、「モーデル・ヴェイユの定理」として知られる重要な結果があり、数体上のアーベル多様体の有理点のなす群が「有限生成群」であることを主張しています。これは、無限に多くの有理点が存在する場合でも、それらが少数の「基底」となる有理点から群演算によって生成されることを意味します。

また、「ヴェイユ予想」は、有限体上で定義された多様体上の有理点の個数に関するもので、有理点が多様体が定義される最も小さな部分体（素体）に属する点から構成されることを示唆しており、その分布に関する深い洞察を与えています。

具体例

1. 点 (3, −67/4) は、方程式 $y + 67/4 = 2(x − 3)$ で表される直線上にある点です。この直線上の有理点の集合は無限に存在し、特定の群演算（例えば $(a, b) + (r, s) = (a + r, b + s + 91/4)$ ）に関して可換群を形成します。一方、この直線上に整数点が存在しない場合もあります。これは、単純なタイプの代数曲線である直線上の点の例ですが、代数曲線の中には有理点を有限個しか持たないものや、全く持たないもの（例えば円 $x^2 + y^2 + 1 = 0$ など）も存在し、多様体の形と有理点の存在には深い関係があります。

2. 放物線 $3x^2 - 2y = 0$ によって定義される多様体上の点 $P = (\sqrt{2}, 3)$ を考えます。点の座標 $\sqrt{2}$ は有理数ではないため、Pは有理点ではありません。しかし、有理数a, bを用いて $a + b\sqrt{2}$ の形で表される数全体がなす体F（これは有理数体$\mathbb{Q}$を$\sqrt{2}$で拡大した体$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$です）を考えると、点の座標 $\sqrt{2} = 0 + 1\sqrt{2}$ と $3 = 3 + 0\sqrt{2}$ はともに体Fの元です。したがって、点Pは体F上のF-有理点となります。

3. 複素射影平面内の点 $(a, b, c)$ が「実有理点」（つまり体$\mathbb{R}$上の有理点）であるとは、ゼロでないある複素数zが存在して、$za, zb, zc$ がすべて実数となる場合を言います。このような定義は、より高次元の複素射影空間にも一般化されます。

スキーム論における有理点

現代的な代数幾何の枠組みである「スキーム論」においては、スキームX上の体KのK-有理点は、体のスペクトル $\operatorname{Spec} K$ からXへの射 $\operatorname{Spec} K \to X$ としてより抽象的に定義されます。K-有理点の集合はしばしば $K(X)$ と表記されます。

また、体k上で定義されたスキームや多様体X上の点xについて、その「剰余体」 $k(x)$ が自然な写像 $k \to k(x)$ を通じてkと同型になる場合、この点x自体も有理点と呼ばれることがあります。

有理点の概念は、代数曲線、数論力学、双有理変換、単位円の有理点の群など、数論および代数幾何の様々な分野と深く関連しています。

参考文献

Silverman, Joseph H.; Tate, John (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-97825-9.

もう一度検索